Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 3,1 kg na sprężynie o k = 360 N/m zostaje odciągnięty o 12 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego prędkość v w chwili t = 1,4 s (ze znakiem).
m = 3,1 kgk = 360 N/mA = 12 cmt = 1,4 s
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 3,7 kg na sprężynie o k = 210 N/m odciągnięto o 13 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
m = 3,7 kgk = 210 N/mA = 13 cm
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Przedmiot stoi 18 cm przed cienką soczewką (typ: rozpraszająca) o ogniskowej 12 cm. Znajdź odległość obrazu di. Użyj konwencji znaków 1/f = 1/do + 1/di (f < 0 dla soczewki rozpraszającej, di < 0 dla obrazu pozornego).
do = 18 cmf = −12 cm
di = cm
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Dwie cienkie soczewki mają wspólną oś i stoją w odległości 20 cm: soczewka 1 o f₁ = 12 cm i soczewka 2 o f₂ = 15 cm. Przedmiot stoi 40 cm przed soczewką 1. Znajdź położenie di2 obrazu końcowego mierzone od soczewki 2 (dodatnie za soczewką 2, konwencja: obraz rzeczywisty jest dodatni).
f1 = 12 cmf2 = 15 cms = 20 cmdo = 40 cm
di2 = cm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = −0,7525 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(360/3,1) = 10,78 rad/s
ω·t = 10,78·1,4 = 15,09 rad
Prędkość
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,12·10,78·sin(15,09) = −0,7525 m/s
Odpowiedź
v = −0,7525 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,9794 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(210/3,7) = 7,534 rad/s
Maksymalna prędkość
vmax = A·ω = 0,13·7,534 = 0,9794 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,9794 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di = −7,2 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Równanie cienkiej soczewki
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−12) − 1/18
di = −7,2 cm
Diagram promieni
pozorny, po tej samej stronie co przedmiot
Odpowiedź
di = −7,2 cm
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di2 = −3,529 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Obraz z soczewki 1
1/di1 = 1/12 − 1/40 → di1 = 17,14 cm
Przedmiot dla soczewki 2
do2 = 20 − 17,14 = 2,857 cm
Obraz końcowy
1/di2 = 1/15 − 1/2,857 → di2 = −3,529 cm
Odpowiedź
di2 = −3,529 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics