Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 0,2 kg na sprężynie o k = 210 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 7 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 3 cm od położenia równowagi.
m = 0,2 kgk = 210 N/mA = 7 cmx = 3 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Pocisk o masie 5 g lecący z prędkością 350 m/s trafia w klocek o masie 1,5 kg spoczywający na powierzchni bez tarcia i pozostaje w nim. Klocek jest przymocowany do poziomej sprężyny o k = 200 N/m. Wyznacz amplitudę A powstałych drgań w cm.
m = 5 gv = 350 m/sM = 1,5 kgk = 200 N/m
A = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Jedna maszyna daje w pewnym punkcie poziom dźwięku 75 dB. Znajdź poziom β w tym punkcie, gdy jednocześnie pracuje 5 jednakowych maszyn (źródła niekoherentne).
β1 = 75 dBn = 5
β = dB
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Siatka o 100 liniach na milimetr pokazuje maksimum rzędu 3 linii widmowej pod kątem 10,2° od kierunku prostego. Znajdź długość fali λ tej linii.
N = 100 mm⁻¹θ3 = 10,2°m = 3
λ = nm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 2,049 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(210/0,2) = 32,4 rad/s
Prędkość w x
v = ω·√(A² − x²) = 32,4·√(0,07² − 0,03²) = 2,049 m/s
Odpowiedź
v = 2,049 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: A = 10,09 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Prędkość po uderzeniu
V = m·v/(m + M) = 0,005·350/1,505 = 1,163 m/s
Pulsacja
ω = √(k/(m + M)) = √(200/1,505) = 11,53 rad/s
Amplituda
A = V/ω = 1,163/11,53 = 0,1009 m = 10,09 cm
Odpowiedź
A = 10,09 cm
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: β = 81,99 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Całkowite natężenie
I = 5·I₁
Poziom
β = 75 + 10·log₁₀(5) = 81,99 dB
Odpowiedź
β = 81,99 dB
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: λ = 590,3 nm
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Długość fali
λ = d·sin θ/m = 1 × 10⁻⁵·sin 10,2°/3 = 590,3 nm
Odpowiedź
λ = 590,3 nm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics