Fale i optyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie
T = 2π·√(m/k)
Wahadło
T = 2π·√(L/g)
Pulsacja
ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energia
E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali
v = fλ, T = 1/f
Struna
v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe
I = P/(4πr²)
Fale stojące
struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Współczynnik załamania
n = c/v, λ = λ0/n
Prawo Snelliusa
n1sin θ1 = n2sin θ2
Kąt graniczny
sin θc = n2/n1
Światłowód
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Soczewki i zwierciadła
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Podwójna szczelina
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Siatka
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

  1. Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
  2. Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
  4. Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.Sprężyny i wahadłaŚredni
2,8 kgk = 20 N/mA = 5 cmx = 2 cm

Ciężarek o masie 2,8 kg na sprężynie o k = 20 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 5 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 2 cm od położenia równowagi.

m = 2,8 kgk = 20 N/mA = 5 cmx = 2 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
4 kgk = 600 N/m100 m/s

Pocisk o masie 10 g lecący z prędkością 100 m/s trafia w klocek o masie 4 kg spoczywający na powierzchni bez tarcia i pozostaje w nim. Klocek jest przymocowany do poziomej sprężyny o k = 600 N/m. Wyznacz amplitudę A powstałych drgań w cm.

m = 10 gv = 100 m/sM = 4 kgk = 600 N/m
A = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
S15 m/sOf = 500 Hz

Źródło o częstotliwości 500 Hz porusza się z prędkością 15 m/s od nieruchomego obserwatora. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź częstotliwość f′, którą słyszy obserwator.

f = 500 Hzv = 343 m/svs = 15 m/s
f′ = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
λ = 600 nmd = 0,15 mmL = 1,5 my = ?

Światło o długości fali 600 nm pada na dwie szczeliny odległe o 0,15 mm. Ekran jest oddalony o 1,5 m. Znajdź odległość y4 od środkowego jasnego prążka do jasnego prążka numer 4.

λ = 600 nmd = 0,15 mmL = 1,5 mm = 4
y4 = mm

3Roztwory

1.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: v = 0,1225 m/s

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(20/2,8) = 2,673 rad/s

Prędkość w x

v = ω·√(A² − x²) = 2,673·√(0,05² − 0,02²) = 0,1225 m/s

Odpowiedź

v = 0,1225 m/s
2.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: A = 2,039 cm

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Prędkość po uderzeniu

V = m·v/(m + M) = 0,01·100/4,01 = 0,2494 m/s

Pulsacja

ω = √(k/(m + M)) = √(600/4,01) = 12,23 rad/s

Amplituda

A = V/ω = 0,2494/12,23 = 0,02039 m = 2,039 cm

Odpowiedź

A = 2,039 cm
3.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: f′ = 479,1 Hz

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Wzór na efekt Dopplera

f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 500·(343 − 0)/(343 + 15)
f′ = 479,1 Hz

Odpowiedź

f′ = 479,1 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: y4 = 24 mm

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Odstęp prążków

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1,5/(0,15 × 10⁻³) = 6 mm

Prążek numer 4

y4 = 4·6 = 24 mm

Odpowiedź

y4 = 24 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics