Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 1,1 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.
T = 1,1 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 0,7 kg na sprężynie o k = 350 N/m odciągnięto o 3 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
m = 0,7 kgk = 350 N/mA = 3 cm
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Małe źródło wysyła dźwięk równo we wszystkich kierunkach. Poziom wynosi 75 dB w odległości 5 m od niego. Znajdź poziom β2 w odległości 25 m, pomijając pochłanianie i odbicia.
β1 = 75 dBr1 = 5 mr2 = 25 m
β2 = dB
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światło o długości fali 532 nm pada na dwie szczeliny odległe o 0,15 mm. Ekran jest oddalony o 2,5 m. Znajdź odległość y5 od środkowego jasnego prążka do jasnego prążka numer 5.
λ = 532 nmd = 0,15 mmL = 2,5 mm = 5
y5 = mm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: L = 0,3007 m
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Wyznacz długość
L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,1/2π)² = 0,3007 m
Odpowiedź
L = 0,3007 m
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,6708 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(350/0,7) = 22,36 rad/s
Maksymalna prędkość
vmax = A·ω = 0,03·22,36 = 0,6708 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,6708 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: β2 = 61,02 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Stosunek natężeń
I₂/I₁ = (5/25)² = 0,04
Nowy poziom
β₂ = 75 + 10·log₁₀(0,04) = 61,02 dB
Odpowiedź
β2 = 61,02 dB
Każde podwojenie odległości obniża poziom o około 6 dB.
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: y5 = 44,33 mm
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Odstęp prążków
Δy = λL/d = 532 × 10⁻⁹·2,5/(0,15 × 10⁻³) = 8,867 mm
Prążek numer 5
y5 = 5·8,867 = 44,33 mm
Odpowiedź
y5 = 44,33 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics