Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 1,9 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.
T = 1,9 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Pocisk o masie 10 g lecący z prędkością 350 m/s trafia w klocek o masie 4 kg spoczywający na powierzchni bez tarcia i pozostaje w nim. Klocek jest przymocowany do poziomej sprężyny o k = 300 N/m. Wyznacz amplitudę A powstałych drgań w cm.
m = 10 gv = 350 m/sM = 4 kgk = 300 N/m
A = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Układ: Rura otwarta na obu końcach. Wymagana częstotliwość dla: harmoniczna numer 5 to 1072 Hz. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź długość L rury.
v = 343 m/sn = 5f5 = 1072 Hz
L = m
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Dwie cienkie soczewki mają wspólną oś i stoją w odległości 40 cm: soczewka 1 o f₁ = 20 cm i soczewka 2 o f₂ = 5 cm. Przedmiot stoi 18 cm przed soczewką 1. Znajdź położenie di2 obrazu końcowego mierzone od soczewki 2 (dodatnie za soczewką 2, konwencja: obraz rzeczywisty jest dodatni).
f1 = 20 cmf2 = 5 cms = 40 cmdo = 18 cm
di2 = cm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: L = 0,897 m
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Wyznacz długość
L = g·(T/2π)² = 9,81·(1,9/2π)² = 0,897 m
Odpowiedź
L = 0,897 m
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: A = 10,09 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Prędkość po uderzeniu
V = m·v/(m + M) = 0,01·350/4,01 = 0,8728 m/s
Pulsacja
ω = √(k/(m + M)) = √(300/4,01) = 8,649 rad/s
Amplituda
A = V/ω = 0,8728/8,649 = 0,1009 m = 10,09 cm
Odpowiedź
A = 10,09 cm
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: L = 0,7999 m
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Długość fali
λ = v/f = 343/1072 = 0,32 m
Długość
L = nλ/2 = 5·0,32/2 = 0,7999 m
Odpowiedź
L = 0,7999 m
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di2 = 5,116 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Obraz z soczewki 1
1/di1 = 1/20 − 1/18 → di1 = −180 cm
Przedmiot dla soczewki 2
do2 = 40 − (−180) = 220 cm
Obraz końcowy
1/di2 = 1/5 − 1/220 → di2 = 5,116 cm
Odpowiedź
di2 = 5,116 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics