Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Wahadło matematyczne ma długość 0,8 m. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz jego okres T dla małych wychyleń.
L = 0,8 mg = 9,81 m/s²
T = s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciało wykonuje ruch harmoniczny z okresem 1,6 s i amplitudą 16 cm. Jaki najkrótszy czas t jest potrzebny, aby przejść z maksymalnego wychylenia 16 cm do wychylenia 11,2 cm?
T = 1,6 sA = 16 cmx = 11,2 cm
t = s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Światło rozchodzi się w ośrodku: diament (n = 2,42) ku płaskiej granicy z ośrodkiem: akryl (n = 1,49). Znajdź kąt graniczny θc, powyżej którego następuje całkowite odbicie.
n1 = 2,42n2 = 1,49
θc = °
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Przedmiot jest 40 cm przed zwierciadłem (typ: wypukłe) o promieniu krzywizny 20 cm. Znajdź odległość obrazu di, dodatnią dla obrazu przed zwierciadłem (rzeczywistego) i ujemną dla obrazu za nim (pozornego).
do = 40 cmR = 20 cm
di = cm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: T = 1,794 s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Okres wahadła
T = 2π·√(0,8/9,81) = 1,794 s
Odpowiedź
T = 1,794 s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: t = 0,2025 s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = 2π/T = 2π/1,6 = 3,927 rad/s
Wyznacz czas
0,7 = cos(ω·t) → ω·t = arccos(0,7) = 0,7954 rad
t = 0,7954/3,927 = 0,2025 s
Odpowiedź
t = 0,2025 s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: θc = 38 °
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Załamanie pod 90°
sin θc = n₂/n₁ = 1,49/2,42 = 0,6157
Kąt graniczny
θc = arcsin(0,6157) = 38°
Odpowiedź
θc = 38°
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di = −8 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Ogniskowa
f = −R/2 = −10 cm
Równanie zwierciadła
1/di = 1/f − 1/do = 1/(−10) − 1/40
di = −8 cm
Diagram promieni
obraz pozorny za zwierciadłem
Odpowiedź
di = −8 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics