Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Astronauta na innej planecie stwierdza, że wahadło matematyczne o długości 1,5 m ma przy małych wychyleniach okres 2,3 s. Wyznacz przyspieszenie grawitacyjne g na tej planecie.
L = 1,5 mT = 2,3 s
g = m/s²
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciężarek o masie 2,2 kg zostaje przymocowany do dolnego końca nierozciągniętej pionowej sprężyny o k = 280 N/m i puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największą prędkość vmax ciężarka.
m = 2,2 kgk = 280 N/mg = 9,81 m/s²
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Obserwator porusza się z prędkością 20 m/s od nieruchomego źródła o częstotliwości 1200 Hz. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź częstotliwość f′, którą słyszy obserwator.
f = 1200 Hzv = 343 m/svo = 20 m/s
f′ = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światło o długości fali 450 nm przechodzi przez pojedynczą szczelinę o szerokości 0,08 mm. Znajdź szerokość w środkowego jasnego maksimum na ekranie w odległości 2,5 m (między pierwszymi ciemnymi prążkami po obu stronach).
λ = 450 nma = 0,08 mmL = 2,5 m
w = mm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: g = 11,19 m/s²
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Wyznacz g
g = 4π²·L/T² = 4π²·1,5/2,3² = 11,19 m/s²
Odpowiedź
g = 11,19 m/s²
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,8696 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Położenie równowagi i amplituda
x₀ = m·g/k = 2,2·9,81/280 = 0,07708 m = A
Największa prędkość
Prędkość jest największa w położeniu równowagi.
ω = √(280/2,2) = 11,28 rad/s
vmax = A·ω = 0,07708·11,28 = 0,8696 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,8696 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f′ = 1130 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Wzór na efekt Dopplera
f′ = f·(v − vo)/(v + vs) = 1200·(343 − 20)/(343 + 0)
f′ = 1130 Hz
Odpowiedź
f′ = 1130 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: w = 28,12 mm
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Pierwszy ciemny prążek
y₁ = λL/a = 450 × 10⁻⁹·2,5/(0,08 × 10⁻³) = 14,06 mm
Szerokość maksimum środkowego
w = 2y₁ = 28,12 mm
Odpowiedź
w = 28,12 mm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics