Fale i optyka: zestaw na powtórkę

Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.

Nowe zadaniaWróć do przedmiotu

W oknie drukowania wybierz „Zapisz jako PDF”, aby zachować kopię na swoim urządzeniu.

1Wzory i metody

Sprężyny i wahadła

Masa na sprężynie
T = 2π·√(m/k)
Wahadło
T = 2π·√(L/g)
Pulsacja
ω = √(k/m) = 2π/T
Maksymalna prędkość i przyspieszenie
vmax = A·ω, amax = A·ω²
Energia
E = ½·k·A²

Fale, dźwięk i optyka

Prędkość fali
v = fλ, T = 1/f
Struna
v = √(T/μ), μ = m/L
Poziom natężenia dźwięku
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
Źródło punktowe
I = P/(4πr²)
Fale stojące
struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
Efekt Dopplera
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
Współczynnik załamania
n = c/v, λ = λ0/n
Prawo Snelliusa
n1sin θ1 = n2sin θ2
Kąt graniczny
sin θc = n2/n1
Światłowód
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
Soczewki i zwierciadła
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
Podwójna szczelina
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
Siatka
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
Pojedyncza szczelina
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

Metoda

  1. Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
  2. Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
  3. Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
  4. Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.

2Zadania do ćwiczenia

1.Sprężyny i wahadłaŚredni
t (s)x (cm)0,55 s

Ciężarek o masie 1,8 kg na sprężynie o k = 30 N/m zostaje odciągnięty o 10 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 0,55 s (ze znakiem).

m = 1,8 kgk = 30 N/mA = 10 cmt = 0,55 s
x = cm
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
0,5 kgk = 210 N/mA = 18 cm

Masę 0,5 kg na sprężynie o k = 210 N/m odciągnięto o 18 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz całkowitą energię E drgań.

m = 0,5 kgk = 210 N/mA = 18 cm
E = J
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
L = ?n = 2

Układ: Struna zamocowana na obu końcach. Wymagana częstotliwość dla: harmoniczna numer 2 to 308 Hz; prędkość fal wynosi 200 m/s. Znajdź długość L.

v = 200 m/sn = 2f2 = 308 Hz
L = m
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
λ = 633 nmd = 0,5 mmL = 2,5 m

Światło o długości fali 633 nm pada na dwie szczeliny odległe o 0,5 mm. Ekran jest oddalony o 2,5 m. Znajdź odstęp Δy między sąsiednimi jasnymi prążkami.

λ = 633 nmd = 0,5 mmL = 2,5 m
Δy = mm

3Roztwory

1.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: x = −6,246 cm

Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(30/1,8) = 4,082 rad/s
ω·t = 4,082·0,55 = 2,245 rad

Przemieszczenie

x = A·cos(ω·t) = 10·cos(2,245) = −6,246 cm

Odpowiedź

x = −6,246 cm
2.Sprężyny i wahadła

Odpowiedź: E = 3,402 J

Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².

Pulsacja

ω = √(210/0,5) = 20,49 rad/s

Energia

E = ½·k·A² = ½·210·0,18² = 3,402 J

Odpowiedź

E = 3,402 J
3.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: L = 0,6494 m

Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.

Długość fali

λ = v/f = 200/308 = 0,6494 m

Długość

L = nλ/2 = 2·0,6494/2 = 0,6494 m

Odpowiedź

L = 0,6494 m
4.Fale, dźwięk i optyka

Odpowiedź: Δy = 3,165 mm

Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …

Odstęp prążków

Δy = λL/d = 633 × 10⁻⁹·2,5/(0,5 × 10⁻³) = 3,165 mm

Odpowiedź

Δy = 3,165 mm

ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics