Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 0,5 kg na sprężynie o k = 40 N/m zostaje odciągnięty o 3 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego prędkość v w chwili t = 1,25 s (ze znakiem).
m = 0,5 kgk = 40 N/mA = 3 cmt = 1,25 s
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 0,4 kg na sprężynie o k = 120 N/m odciągnięto o 5 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie amax.
m = 0,4 kgk = 120 N/mA = 5 cm
amax = m/s²
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Źródło o częstotliwości 600 Hz porusza się z prędkością 30 m/s w stronę nieruchomego obserwatora. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź częstotliwość f′, którą słyszy obserwator.
f = 600 Hzv = 343 m/svs = 30 m/s
f′ = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światłowód ma rdzeń o n₁ = 1,62 i płaszcz o n₂ = 1,57. Znajdź jego aperturę numeryczną NA.
n1 = 1,62n2 = 1,57
NA =
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 0,2638 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(40/0,5) = 8,944 rad/s
ω·t = 8,944·1,25 = 11,18 rad
Prędkość
v = −A·ω·sin(ω·t) = −0,03·8,944·sin(11,18) = 0,2638 m/s
Odpowiedź
v = 0,2638 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: amax = 15 m/s²
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(120/0,4) = 17,32 rad/s
Maksymalne przyspieszenie
amax = A·ω² = 0,05·17,32² = 15 m/s²
Odpowiedź
amax = 15 m/s²
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f′ = 657,5 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Wzór na efekt Dopplera
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 600·(343 + 0)/(343 − 30)
f′ = 657,5 Hz
Odpowiedź
f′ = 657,5 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: NA = 0,3994
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Kąt graniczny na płaszczu
sin θc = 1,57/1,62 = 0,9691 → θc = 75,73°
Apertura numeryczna
NA = √(1,62² − 1,57²) = 0,3994
Odpowiedź
NA = 0,3994
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics