Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 2 kg na sprężynie o k = 390 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 12 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 8 cm od położenia równowagi.
m = 2 kgk = 390 N/mA = 12 cmx = 8 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciężarek o masie 1,4 kg zostaje przymocowany do dolnego końca nierozciągniętej pionowej sprężyny o k = 290 N/m i puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największe wydłużenie xmax sprężyny w cm.
m = 1,4 kgk = 290 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Małe źródło wysyła dźwięk równo we wszystkich kierunkach. Poziom wynosi 80 dB w odległości 5 m od niego. Znajdź poziom β2 w odległości 20 m, pomijając pochłanianie i odbicia.
β1 = 80 dBr1 = 5 mr2 = 20 m
β2 = dB
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światłowód ma rdzeń o n₁ = 1,52 i płaszcz o n₂ = 1,49. Znajdź jego aperturę numeryczną NA.
n1 = 1,52n2 = 1,49
NA =
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 1,249 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(390/2) = 13,96 rad/s
Prędkość w x
v = ω·√(A² − x²) = 13,96·√(0,12² − 0,08²) = 1,249 m/s
Odpowiedź
v = 1,249 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: xmax = 9,472 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Położenie równowagi i amplituda
x₀ = m·g/k = 1,4·9,81/290 = 0,04736 m = A
Najniższy punkt
xmax = 2A = 0,09472 m = 9,472 cm
Odpowiedź
xmax = 9,472 cm
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: β2 = 67,96 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Stosunek natężeń
I₂/I₁ = (5/20)² = 0,0625
Nowy poziom
β₂ = 80 + 10·log₁₀(0,0625) = 67,96 dB
Odpowiedź
β2 = 67,96 dB
Każde podwojenie odległości obniża poziom o około 6 dB.
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: NA = 0,3005
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Kąt graniczny na płaszczu
sin θc = 1,49/1,52 = 0,9803 → θc = 78,6°
Apertura numeryczna
NA = √(1,52² − 1,49²) = 0,3005
Odpowiedź
NA = 0,3005
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics