Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 2,4 kg na sprężynie o k = 60 N/m drga na powierzchni bez tarcia z amplitudą 7 cm. Wyznacz jego prędkość v, gdy znajduje się 1 cm od położenia równowagi.
m = 2,4 kgk = 60 N/mA = 7 cmx = 1 cm
v = m/s
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 0,8 kg na sprężynie o k = 110 N/m odciągnięto o 11 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalne przyspieszenie amax.
m = 0,8 kgk = 110 N/mA = 11 cm
amax = m/s²
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Małe źródło wysyła dźwięk równo we wszystkich kierunkach. Poziom wynosi 60 dB w odległości 10 m od niego. Znajdź poziom β2 w odległości 30 m, pomijając pochłanianie i odbicia.
β1 = 60 dBr1 = 10 mr2 = 30 m
β2 = dB
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Dwie cienkie soczewki mają wspólną oś i stoją w odległości 30 cm: soczewka 1 o f₁ = 20 cm i soczewka 2 o f₂ = −10 cm. Przedmiot stoi 50 cm przed soczewką 1. Znajdź położenie di2 obrazu końcowego mierzone od soczewki 2 (dodatnie za soczewką 2, konwencja: obraz rzeczywisty jest dodatni).
f1 = 20 cmf2 = −10 cms = 30 cmdo = 50 cm
di2 = cm
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: v = 0,3464 m/s
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(60/2,4) = 5 rad/s
Prędkość w x
v = ω·√(A² − x²) = 5·√(0,07² − 0,01²) = 0,3464 m/s
Odpowiedź
v = 0,3464 m/s
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: amax = 15,13 m/s²
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(110/0,8) = 11,73 rad/s
Maksymalne przyspieszenie
amax = A·ω² = 0,11·11,73² = 15,13 m/s²
Odpowiedź
amax = 15,13 m/s²
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: β2 = 50,46 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Stosunek natężeń
I₂/I₁ = (10/30)² = 0,1111
Nowy poziom
β₂ = 60 + 10·log₁₀(0,1111) = 50,46 dB
Odpowiedź
β2 = 50,46 dB
Każde podwojenie odległości obniża poziom o około 6 dB.
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: di2 = 5 cm
Optyka geometryczna: na granicy ośrodków n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂ (prawo Snelliusa), kąty mierzy się od normalnej, a n = c/v. Przy wejściu do wolniejszego ośrodka promień załamuje się ku normalnej. Przy przejściu z ośrodka gęstszego (n₁ > n₂), powyżej kąta granicznego θc = arcsin(n₂/n₁), całe światło zostaje odbite: całkowite wewnętrzne odbicie. Cienkie soczewki i zwierciadła sferyczne spełniają 1/f = 1/do + 1/di z powiększeniem m = −di/do. Konwencja znaków: f > 0 dla soczewki skupiającej i zwierciadła wklęsłego (f = R/2), f < 0 dla soczewki rozpraszającej i zwierciadła wypukłego; di > 0 dla obrazu rzeczywistego, di < 0 dla pozornego, a m < 0 dla obrazu odwróconego.
Obraz z soczewki 1
1/di1 = 1/20 − 1/50 → di1 = 33,33 cm
Przedmiot dla soczewki 2
do2 = 30 − 33,33 = −3,333 cm
Obraz końcowy
1/di2 = 1/(−10) − 1/(−3,333) → di2 = 5 cm
Odpowiedź
di2 = 5 cm
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics