Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 0,2 kg na sprężynie o k = 160 N/m zostaje odciągnięty o 4 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 1,2 s (ze znakiem).
m = 0,2 kgk = 160 N/mA = 4 cmt = 1,2 s
x = cm
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Ciężarek o masie 1,3 kg zostaje przymocowany do dolnego końca nierozciągniętej pionowej sprężyny o k = 120 N/m i puszczony ze spoczynku. Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz największe wydłużenie xmax sprężyny w cm.
m = 1,3 kgk = 120 N/mg = 9,81 m/s²
xmax = cm
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Układ: Struna zamocowana na obu końcach, długość 0,6 m, prędkość fal 240 m/s. Znajdź częstotliwość f1 dla: drgania podstawowe (pierwsza harmoniczna).
v = 240 m/sn = 1L = 0,6 m
f1 = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Czujnik w spoczynku wysyła ultradźwięki 25 kHz w stronę samochodu zbliżającego się z prędkością 5 m/s i miesza echo z wysłanym sygnałem. Znajdź częstotliwość dudnień fb (prędkość dźwięku 343 m/s).
f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s
fb = Hz
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: x = −3,264 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(160/0,2) = 28,28 rad/s
ω·t = 28,28·1,2 = 33,94 rad
Przemieszczenie
x = A·cos(ω·t) = 4·cos(33,94) = −3,264 cm
Odpowiedź
x = −3,264 cm
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: xmax = 21,26 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Położenie równowagi i amplituda
x₀ = m·g/k = 1,3·9,81/120 = 0,1063 m = A
Najniższy punkt
xmax = 2A = 0,2126 m = 21,26 cm
Odpowiedź
xmax = 21,26 cm
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f1 = 200 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Długość fali tego rodzaju drgań
λ = 2L/n = 2·0,6/1 = 1,2 m
Częstotliwość
f = v/λ = 240/1,2 = 200 Hz
Odpowiedź
f1 = 200 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: fb = 739,6 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Częstotliwość przy samochodzie
f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz
Częstotliwość echa
f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz
Częstotliwość dudnień
fb = |f″ − f| = 739,6 Hz
Odpowiedź
fb = 739,6 Hz
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics