Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Jaką długość musi mieć wahadło matematyczne, aby jego okres wynosił 2,5 s? Przyjmij g = 9,81 m/s². Wyznacz L.
T = 2,5 sg = 9,81 m/s²
L = m
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 2,2 kg na sprężynie o k = 260 N/m odciągnięto o 7 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
m = 2,2 kgk = 260 N/mA = 7 cm
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Źródło o częstotliwości 400 Hz porusza się z prędkością 25 m/s w stronę nieruchomego obserwatora. Prędkość dźwięku wynosi 343 m/s. Znajdź częstotliwość f′, którą słyszy obserwator.
f = 400 Hzv = 343 m/svs = 25 m/s
f′ = Hz
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Światło o długości fali 633 nm pada pod kątem prostym na siatkę o 1200 liniach na milimetr. Znajdź kąt θ1 maksimum rzędu 1.
N = 1200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 1
θ1 = °
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: L = 1,553 m
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Wyznacz długość
L = g·(T/2π)² = 9,81·(2,5/2π)² = 1,553 m
Odpowiedź
L = 1,553 m
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,761 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(260/2,2) = 10,87 rad/s
Maksymalna prędkość
vmax = A·ω = 0,07·10,87 = 0,761 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,761 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: f′ = 431,4 Hz
Fale stojące i efekt Dopplera: struna zamocowana na obu końcach lub rura otwarta na obu końcach mieści całkowitą liczbę półfal: L = nλ/2, fn = n·v/(2L), n = 1, 2, 3, … Rura zamknięta na jednym końcu ma węzeł na końcu zamkniętym i strzałkę na otwartym: L = nλ/4 tylko dla nieparzystych n, fn = n·v/(4L). Gdy źródło lub obserwator poruszają się wzdłuż linii między nimi, f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs): górne znaki stosuj dla ruchu ku sobie. Dwie fale o niemal równych częstotliwościach dudnią z częstotliwością |f₁ − f₂|.
Wzór na efekt Dopplera
f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 400·(343 + 0)/(343 − 25)
f′ = 431,4 Hz
Odpowiedź
f′ = 431,4 Hz
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: θ1 = 49,43 °
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Odstęp linii
d = 1/1200 mm = 8,333 × 10⁻⁷ m
Równanie siatki
sin θ = mλ/d = 1·633 × 10⁻⁹/(8,333 × 10⁻⁷) = 0,7596
θ = 49,43°
Odpowiedź
θ1 = 49,43°
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics