Sprężyny i wahadła
- Masa na sprężynie
- T = 2π·√(m/k)
- Wahadło
- T = 2π·√(L/g)
- Pulsacja
- ω = √(k/m) = 2π/T
- Maksymalna prędkość i przyspieszenie
- vmax = A·ω, amax = A·ω²
- Energia
- E = ½·k·A²
Fale i optyka: zestaw na powtórkę
Wzory, najważniejsze kroki metod dla każdego tematu i 4 zadań do ćwiczenia, z pełnymi rozwiązaniami na końcu.
1Wzory i metody
Fale, dźwięk i optyka
- Prędkość fali
- v = fλ, T = 1/f
- Struna
- v = √(T/μ), μ = m/L
- Poziom natężenia dźwięku
- β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
- Źródło punktowe
- I = P/(4πr²)
- Fale stojące
- struna lub rura otwarta fn = n·v/(2L); rura zamknięta fn = n·v/(4L), n nieparzyste
- Efekt Dopplera
- f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
- Współczynnik załamania
- n = c/v, λ = λ0/n
- Prawo Snelliusa
- n1sin θ1 = n2sin θ2
- Kąt graniczny
- sin θc = n2/n1
- Światłowód
- NA = sin θa = √(n1² − n2²)
- Soczewki i zwierciadła
- 1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
- Podwójna szczelina
- d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
- Siatka
- d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
- Pojedyncza szczelina
- a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a
Metoda
- Rozpoznaj rodzaj zadania: prędkość fali, poziom dźwięku, fala stojąca, efekt Dopplera, załamanie, soczewka lub zwierciadło albo interferencja.
- Najpierw zapisz zależność: v = fλ, β = 10·log(I/I₀), fₙ = n·v/(2L) lub n·v/(4L), f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs), n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂, 1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ, d·sin θ = mλ.
- Zamień jednostki: nm, mm i cm na m, i sprawdź, czy kąty są mierzone od normalnej.
- Sprawdź znaki i wiarygodność: obraz pozorny ma dᵢ < 0, zbliżające się źródło brzmi wyżej, rura zamknięta ma tylko harmoniczne nieparzyste.
2Zadania do ćwiczenia
1.Sprężyny i wahadłaŚredni
Ciężarek o masie 1,9 kg na sprężynie o k = 340 N/m zostaje odciągnięty o 14 cm w kierunku dodatnim i puszczony ze spoczynku w t = 0. Wyznacz jego wychylenie x z położenia równowagi w chwili t = 1,2 s (ze znakiem).
m = 1,9 kgk = 340 N/mA = 14 cmt = 1,2 s
x = cm
2.Sprężyny i wahadłaTrudny
Masę 2,7 kg na sprężynie o k = 170 N/m odciągnięto o 7 cm od położenia równowagi i puszczono. Wyznacz jej maksymalną prędkość vmax.
m = 2,7 kgk = 170 N/mA = 7 cm
vmax = m/s
3.Fale, dźwięk i optykaŚredni
Mały głośnik promieniuje moc akustyczną 5 W równo we wszystkich kierunkach. Znajdź poziom natężenia dźwięku β w odległości 2 m.
P = 5 Wr = 2 mI0 = 10⁻¹² W/m²
β = dB
4.Fale, dźwięk i optykaTrudny
Siatka dyfrakcyjna ma 300 linii na milimetr. Światło o długości fali 405 nm pada na nią pod kątem prostym. Jaki jest najwyższy rząd mmax jasnego maksimum, jaki można zobaczyć?
N = 300 mm⁻¹λ = 405 nm
mmax =
3Roztwory
1.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: x = −13,18 cm
Simple harmonic motion: a mass m on a spring of stiffness k oscillates with angular frequency ω = √(k/m) and period T = 2π/ω = 2π·√(m/k). A simple pendulum of length L has T = 2π·√(L/g). With amplitude A, the largest speed is A·ω, the largest acceleration A·ω² and the energy ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(340/1,9) = 13,38 rad/s
ω·t = 13,38·1,2 = 16,05 rad
Przemieszczenie
x = A·cos(ω·t) = 14·cos(16,05) = −13,18 cm
Odpowiedź
x = −13,18 cm
2.Sprężyny i wahadła
Odpowiedź: vmax = 0,5554 m/s
Ruch harmoniczny prosty: masa m na sprężynie o współczynniku sprężystości k drga z częstością kołową ω = √(k/m) i okresem T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Wahadło matematyczne o długości L ma T = 2π·√(L/g). Przy amplitudzie A największa prędkość wynosi A·ω, największe przyspieszenie A·ω², a energia ½·k·A².
Pulsacja
ω = √(170/2,7) = 7,935 rad/s
Maksymalna prędkość
vmax = A·ω = 0,07·7,935 = 0,5554 m/s
Odpowiedź
vmax = 0,5554 m/s
3.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: β = 110 dB
Fale: fala okresowa przesuwa się o jedną długość fali w ciągu jednego okresu, więc v = fλ, gdzie T = 1/f. Na napiętej strunie v = √(T/μ), gdzie T to naciąg, a μ = m/L to masa na metr. Dźwięk w powietrzu rozchodzi się z prędkością około 343 m/s w 20 °C, światło w próżni z c = 3,00 × 10⁸ m/s. Głośność mierzy się w skali logarytmicznej: β = 10·log₁₀(I/I₀) dB, gdzie I₀ = 10⁻¹² W/m², więc 10 razy większe natężenie dodaje 10 dB. Źródło punktowe rozprasza moc P na sferę: I = P/(4πr²).
Natężenie
I = P/(4πr²) = 0,09947 W/m²
Poziom
β = 10·log₁₀(0,09947/10⁻¹²) = 110 dB
Odpowiedź
β = 110 dB
4.Fale, dźwięk i optyka
Odpowiedź: mmax = 8
Interferencja i dyfrakcja: światło z dwóch szczelin odległych o d dociera do punktu na ekranie z różnicą dróg d·sin θ. Jasne prążki pojawiają się tam, gdzie d·sin θ = mλ (m = 0, ±1, ±2, …). Dla ekranu w odległości L ≫ d m-ty jasny prążek leży w y = mλL/d, a odstęp między prążkami wynosi Δy = λL/d. Siatka z N liniami na milimetr ma d = 1/N i ostre maksima dla d·sin θ = mλ; ponieważ sin θ ≤ 1, najwyższy rząd to największa liczba całkowita m ≤ d/λ. Pojedyncza szczelina o szerokości a ma ciemne prążki dla a·sin θ = mλ, m = ±1, ±2, …
Odstęp linii
d = 1/300 mm = 3,333 µm
Najwyższy rząd
m ≤ d/λ = 3,333 µm/0,405 µm = 8,23 → mmax = 8
Odpowiedź
mmax = 8
ExamProblems · examproblems.com/courses/waves-and-optics