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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Precisa de €10 000 daqui a 2 anos. Uma conta rende 3 % ao ano, capitalizada mensalmente. Quanto tem de depositar hoje? Calcule o valor atual PV.
FV = €10 0003% / 12n = 2
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Você deposita €3 000 no início de cada ano durante 23 anos, sendo o primeiro depósito hoje. A conta rende 4% ao ano. Quanto há na conta no final do ano 23? Encontre FV.
A = €3 000i = 4%n = 23
FV = €
3.VAL e TIRMédia
Um projeto custa €100 000 hoje. Ele gera €11 000 no final do primeiro ano, e o fluxo de caixa depois cresce 1% ao ano para sempre. O custo de capital é 11%. Encontre o valor presente líquido NPV.
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 1%r = 11%
NPV = €
4.VAL e TIRDifícil
Um projeto custa €40 000 e devolve €25 000, €25 000, €28 500 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −40 000CF1 = 25 000CF2 = 25 000CF3 = 28 500
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Você compra um título com 11 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 7%) quando seu rendimento até o vencimento é 6%. Um ano depois, logo após receber o primeiro cupom, você o vende quando o rendimento até o vencimento é 5,5%. Encontre seu retorno no período de posse HPR em porcentagem.
F = €1 000cupom = 7%n = 11y0 = 6%y1 = 5,5%
HPR = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com valor de face de €1 000 e cupom anual de 8% vence em 10 anos e é vendido por €875. Calcule seu rendimento até o vencimento YTM em porcentagem.
F = €1 000cupom = 8%n = 10P = €875
YTM = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa é financiada com ações ordinárias no valor de €12 000 000, ações preferenciais no valor de €2 000 000 e dívida no valor de €4 000 000. O custo do capital próprio é 9%, o custo das ações preferenciais 6% e o custo da dívida antes dos impostos 5%. A alíquota de imposto é 25%. Encontre o WACC.
Uma empresa tem 4 000 000 ações a €50,50 cada e 10 000 títulos negociados a €1 050 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,8, a taxa livre de risco é 2,5% e o retorno do mercado é 9,5%. Calcule o WACC.
β = 1,8rf = 2,5%rm = 9,5%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Um produto é vendido a €30 com custo variável de €25 por unidade. Os custos fixos são €6 000 por mês e o lucro é tributado a 20%. Quantas unidades Q devem ser vendidas por mês para obter €1 000 após os impostos?
p = €30v = €25F = €6 000T = 20%lucro após os impostos = €1 000
Q = unidades
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €16 por unidade, com custo variável de €6 por unidade e custos fixos de €25 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 4 500 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €25 000p = €16v = €6orçamento = 4 500
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 9418 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Taxa e número de períodos
i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·2 = 24
Valor atual
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1,062 = €9 418,35
Resposta
PV = €9 418,35
2.Valor temporal do dinheiro
Resposta: FV = 114248 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Fator de anuidade postecipada
((1 + 0,04)23 − 1)/0,04 = 36,62
Anuidade antecipada
Cada depósito fica investido um ano a mais.
FV = 3 000·36,62·1,04 = €114 247,81
Resposta
FV = €114 247,81
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 10000 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor dos fluxos de caixa
PV = 11 000/(0,11 − 0,01) = 110 000,00
NPV
NPV = 110 000,00 − 100 000 = €10 000,00
Resposta
NPV = €10 000,00
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 41,92 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(40%) = 998,54
NPV(45%) = −1 519,54
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
€875 = €80·(1 − (1 + y)⁻¹⁰)/y + €1 000/(1 + y)¹⁰
Resolva numericamente
P(10%) = €877,11, P(11%) = €823,32
YTM = 10,04%
Resposta
YTM = 10,04%
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 7,5 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).
Lucro antes dos impostos necessário
1 000/(1 − 0,2) = €1 250
Unidades necessárias
Q = (6 000 + 1 250)/5 = 1 450
Resposta
Q = 1 450 unidades
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 44,44 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).