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1Fórmulas e métodos
Valor temporal do dinheiro
Valor futuro
FV = PV·(1 + i)n
Valor atual
PV = FV/(1 + i)n
Vários períodos por ano
i = r/m, N = m·n
Anuidade, valor atual
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Anuidade, valor futuro
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Método
Desenhe uma linha do tempo com cada fluxo de caixa e o momento em que ocorre.
Ajuste a taxa ao período: uma taxa mensal para pagamentos mensais.
Use FV = PV·(1 + i)ⁿ para valores únicos e as fórmulas de anuidade para pagamentos iguais.
Verifique o sinal e a ordem de grandeza da resposta.
VAL e TIR
Valor atual líquido
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Fluxos iguais
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Taxa interna de retorno
o r em que NPV = 0
Decisão
aceitar se NPV > 0 (ou IRR > retorno exigido)
Método
Liste todos os fluxos de caixa com o seu ano; o investimento no ano 0 é negativo.
Desconte cada fluxo de caixa: CFt/(1 + r)t.
Some-os para obter o VPL. Positivo significa que o projeto rende mais que r.
Para a TIR, encontre a taxa que zera o VPL por tentativa ou interpolação.
Preço e rendimento de títulos
Preço do título
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Semestral
C/2, y/2 e 2n períodos
Rendimento corrente
C/P
Preço e rendimento
rendimento sobe → preço cai
Método
Encontre o cupom por período e o rendimento por período.
Preço = valor presente dos cupons (uma anuidade) + valor presente do valor de face.
Para cupons semestrais use metade do cupom, metade do rendimento e o dobro de períodos.
Verificação: se o rendimento está acima da taxa de cupom, o preço fica abaixo do valor de face.
CAPM e WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Valor da empresa
V = E + D
Análise do ponto crítico
Margem de contribuição
CM = p − v
Quantidade crítica
QBE = FC/(p − v)
Lucro pretendido
Q = (FC + profit)/(p − v)
Lucro
π = (p − v)·Q − FC
Margem de segurança
(Q − QBE)/Q
2Exercícios
1.Valor temporal do dinheiroMédia
Espera-se que um imóvel renda um aluguel líquido de €12 000 no próximo ano. Espera-se que o aluguel cresça 1,5% ao ano para sempre. O retorno exigido é 5,5% ao ano. Encontre o valor PV do imóvel hoje.
C1 = €12 000g = 1,5%r = 5,5%
PV = €
2.Valor temporal do dinheiroDifícil
Um financiamento imobiliário de €300 000 é pago em prestações mensais iguais ao longo de 25 anos a 7,2% ao ano, capitalizados mensalmente. Quanto ainda se deve logo após o pagamento do final do ano 11? Encontre o saldo devedor B.
P = €300 0007,2% / 12N = 300k = 132
B = €
3.VAL e TIRMédia
Um investimento de €45 000 gera estes fluxos no fim dos anos 1 a 4: €10 000, €17 000, €17 000, €15 000. O custo do capital é de 9 %. Calcule o valor atual líquido NPV.
Um projeto custa €25 000 e devolve €16 000, €17 000, €11 000 no fim dos anos 1 a 3. Calcule a sua taxa interna de rendibilidade IRR em percentagem.
CF0 = −25 000CF1 = 16 000CF2 = 17 000CF3 = 11 000
IRR = %
5.Preço e rendimento de títulosMédia
Um título com valor de face de €1 000 vence em 11 anos e paga cupons anuais. Ele é vendido a €796 quando o rendimento até o vencimento é 9%. Encontre a taxa de cupom c em porcentagem.
F = €1 000n = 11P = €796YTM = 9%
c = %
6.Preço e rendimento de títulosDifícil
Um título com 20 anos até o vencimento (valor de face €1 000, cupom anual 6%) é vendido a €1 125. O emissor pode resgatá-lo antecipadamente daqui a 6 anos a um preço de resgate de €1 060. Encontre o rendimento até o resgate antecipado YTC em porcentagem.
F = €1 000cupom = 6%P = €1 125preço de resgate = €1 060resgate em 6 anos
YTC = %
7.CAPM e WACCMédia
Uma empresa tem uma relação dívida/capital próprio (a valores de mercado) de 0,4. Seu custo do capital próprio é 12%, seu custo da dívida antes dos impostos é 3,5% e a alíquota de imposto é 20%. Encontre o WACC.
D/E = 0,4re = 12%rd = 3,5%T = 20%
WACC = %
8.CAPM e WACCDifícil
Uma empresa tem 2 500 000 ações a €59,00 cada e 10 000 títulos negociados a €1 000 cada. O custo da dívida antes dos impostos é 4% e a alíquota de imposto é 21%. O beta da ação é 1,2, a taxa livre de risco é 2% e o retorno do mercado é 7%. Calcule o WACC.
β = 1,2rf = 2%rm = 7%rd = 4%T = 21%
WACC = %
9.Análise do ponto críticoMédia
Uma empresa vende 7 500 unidades a €37 cada. O custo variável é €25 por unidade e os custos fixos são €30 000. Encontre o grau de alavancagem operacional DOL nesse nível de vendas.
Q = 7 500p = €37v = €25F = €30 000
DOL =
10.Análise do ponto críticoDifícil
Um produto vende-se a €33 por unidade, com custo variável de €18 por unidade e custos fixos de €75 000 por ano. As vendas orçamentadas são de 6 250 unidades. Calcule a margem de segurança MS em percentagem das vendas orçamentadas.
F = €75 000p = €33v = €18orçamento = 6 250
MS = %
3Soluções
1.Valor temporal do dinheiro
Resposta: PV = 300000 €
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
Valor temporal do dinheiro: o dinheiro hoje vale mais do que a mesma quantia no futuro, porque pode render juros. Com uma taxa i por período, um montante cresce para FV = PV·(1 + i)n. Uma série de pagamentos iguais (uma renda) avalia-se somando cada pagamento, o que dá as fórmulas das rendas.
O que ainda se deve precisa ser quitado exatamente pelas prestações restantes.
N − k = 300 − 132 = 168
B = 2159·(1 − (1 + 0,006)−168)/0,006 = €228 091,98
Resposta
B = €228 091,98
3.VAL e TIR
Resposta: NPV = 2236 €
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Valor atual de cada fluxo
CF0 = −45 000
CF1/(1 + 0,09)1 = 10 000/1,09 = 9 174,31
CF2/(1 + 0,09)2 = 17 000/1,188 = 14 308,56
CF3/(1 + 0,09)3 = 17 000/1,295 = 13 127,12
CF4/(1 + 0,09)4 = 15 000/1,412 = 10 626,38
Somar
NPV = €2 236,37
Resposta
NPV = €2 236,37
O VAL é positivo, logo o projeto rende mais do que a rendibilidade exigida.
4.VAL e TIR
Resposta: IRR = 37,05 %
Valor atual líquido: desconte cada fluxo de caixa até hoje com a rendibilidade exigida r e some-os: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Um projeto com NPV > 0 rende mais do que r e cria valor. A taxa interna de rendibilidade (TIR) é a taxa para a qual NPV = 0.
Enquadrar a TIR
O VAL desce quando a taxa sobe, por isso a TIR está entre uma taxa com VAL positivo e outra com VAL negativo.
NPV(35%) = 650,56
NPV(40%) = −889,21
Aproximar
A interpolação linear dá uma primeira estimativa; repeti-la (ou usar a função TIR de uma calculadora) dá a taxa exata.
IRR ≈ 35 + 5·650,56/(650,56 − (−889,21)) = 37,11%
exato: NPV(37,05%) = 0 → IRR = 37,05%
Resposta
IRR = 37,05%
5.Preço e rendimento de títulos
Resposta: c = 6,002 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Valor presente do valor de face
1000·(1 + 0,09)−11 = €387,53
Cupom
C = (796 − 387,53)/6,805 = €60,02
Taxa de cupom
c = 60,02/1000 = 6,002%
Resposta
c = 6,002%
6.Preço e rendimento de títulos
Resposta: YTC = 4,473 %
Precificação de títulos: o preço de um título é o valor presente dos seus fluxos de caixa, descontados ao rendimento até o vencimento (YTM): os cupons formam uma anuidade e o valor de face é devolvido no vencimento. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Quando o rendimento está acima da taxa de cupom, o título é negociado abaixo do valor de face, e vice-versa.
Equação do rendimento
1125 = 60·(1 − (1 + y)−6)/y + 1060/(1 + y)6
Resolva numericamente
y = 4%: €1 152,26
y = 5%: €1 095,53
YTC = 4,473%
Resposta
YTC = 4,473%
O rendimento até o vencimento é 4,997%. Investidores em um título com ágio esperam que ele seja resgatado antecipadamente, então o rendimento até o resgate, menor, é o mais realista.
7.CAPM e WACC
Resposta: WACC = 9,371 %
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Custo de capital: o CAPM dá o retorno exigido pelos acionistas: re = rf + β·(rm − rf). O custo médio ponderado de capital combina capital próprio e dívida pelos seus valores de mercado: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), com V = E + D. Os juros são dedutíveis do imposto, daí o (1 − T).
Valores de mercado
E = 2 500 000·€59,00 = €147 500 000
D = 10 000·€1 000 = €10 000 000
Custo do capital próprio (CAPM)
re = 2% + 1,2·5% = 8%
Pesos
V = €157 500 000, E/V = 0,9365, D/V = 0,06349
WACC
WACC = 0,9365·8% + 0,06349·4%·(1 − 0,21) = 7,693%
Resposta
WACC = 7,693%
9.Análise do ponto crítico
Resposta: DOL = 1,5
Alavancagem operacional: os custos fixos fazem o lucro reagir mais fortemente que as vendas. O grau de alavancagem operacional DOL = margem de contribuição/lucro operacional indica que uma variação de 1% nas vendas muda o lucro em DOL %. Ele é muito alto logo acima do ponto de equilíbrio e diminui à medida que as vendas crescem.
Margem de contribuição total
CM = 7 500·(37 − 25) = €90 000
Lucro operacional
Π = 90 000 − 30 000 = €60 000
DOL
DOL = 90 000/60 000 = 1,5
Resposta
DOL = 1,5
10.Análise do ponto crítico
Resposta: MS = 20 %
Custo-volume-resultado: cada unidade vendida gera uma margem de contribuição, preço menos custo variável unitário. Resultado = Q·(p − v) − F, onde F é o custo fixo. No ponto crítico o resultado é zero, logo Q = F/(p − v).