Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. ASempre fornece a solução ótima
  2. BUsa apenas recursão
  3. CFaz a melhor escolha local em cada passo
  4. DTesta todas as soluções possíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. ASatisfatibilidade de circuitos
  2. B2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
  3. CSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  4. D3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
3.Estruturas de dadosMédia

Árvores AVL e árvores rubro-negras garantem:

  1. ABusca em tempo constante em todos os casos
  2. BQue nenhum nó tenha dois filhos
  3. CAltura O(log n) por meio do rebalanceamento
  4. DQue as chaves fiquem armazenadas na ordem de inserção
4.Estruturas de dadosDifícil

Você precisa guardar os k menores valores de um fluxo de n números usando O(k) de memória. Qual abordagem funciona em tempo O(n log k)?

  1. AUma fila FIFO com os últimos k valores
  2. BUm min-heap com todos os n valores, do qual os k menores são removidos no final
  3. CUm array ordenado com todos os n valores
  4. DUm max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 3, 3 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 33 × deg 42 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
13125177143ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

C · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

B · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento

Porque é esta a resposta

Árvores autobalanceadas mantêm a altura logarítmica, então busca, inserção e remoção são O(log n) no pior caso.

Resposta

C · Altura O(log n) por meio do rebalanceamento
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor

Porque é esta a resposta

A raiz do max-heap é o maior valor guardado; qualquer valor novo menor a substitui em O(log k), então o heap sempre contém os k menores até o momento.

Resposta

D · Um max-heap de tamanho k, substituindo a raiz quando chega um valor menor
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 17

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 31 = 2(L + 8) − 2
L = 17

Resposta

L = 17

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 34

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BE (3): tomar
BC (5): tomar
CE (7): descartar, fecha um ciclo
AC (12): tomar
AB (13): descartar, fecha um ciclo
DE (14): tomar

Peso total

W = 3 + 5 + 12 + 14 = 34

Resposta

W = 34

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