Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. A3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  2. BSAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  3. CSatisfatibilidade de circuitos
  4. D2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dadosMédia

Como funciona o extract-min em um min-heap binário?

  1. ARemove-se a raiz e desloca-se todos os elementos uma posição à esquerda
  2. BMove-se o último elemento para a raiz e faz-se sift-down
  3. CRemove-se o último elemento do array
  4. DProcura-se o novo mínimo em todas as folhas
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é a principal vantagem de uma skip list em relação a uma lista encadeada ordenada?

  1. AEla não usa memória extra
  2. BEla armazena as chaves sem ordem
  3. CBusca em O(1) garantido, porque cada nó guarda um ponteiro para todos os outros nós
  4. DBusca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, 4 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
1519111318146ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice E. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.

início: Ek = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(log n)

Porque é esta a resposta

O problema cai pela metade a cada passo, com trabalho constante por passo, então há cerca de log₂ n passos.

Resposta

D · O(log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Move-se o último elemento para a raiz e faz-se sift-down

Porque é esta a resposta

O último elemento preenche o buraco na raiz e é trocado com o menor filho até a propriedade de heap valer, em O(log n).

Resposta

B · Move-se o último elemento para a raiz e faz-se sift-down
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente

Porque é esta a resposta

Níveis aleatórios permitem que as buscas pulem muitos nós, resultando em tempo esperado O(log n) para busca, inserção e remoção.

Resposta

D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 24

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 42 = 2(L + 10) − 2
L = 24

Resposta

L = 24

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BC

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. BE (6)
2. BC (11)
3. BD (13)
4. AB (15)

número da aresta 2

BC

Resposta

aresta BC

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