Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um quicksort usa sempre o primeiro elemento como pivô. Com qual entrada ele apresenta o comportamento de pior caso?

  1. AUm array em ordem aleatória
  2. BUm array com todos os elementos diferentes
  3. CUm array que já está ordenado
  4. DUm array de tamanho 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que qualquer busca baseada em comparações num array ordenado precisa de Ω(log n) comparações no pior caso?

  1. ATodo elemento precisa ser comparado pelo menos uma vez
  2. BCada comparação leva tempo logarítmico
  3. CUma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
  4. DA busca binária é o único algoritmo possível e precisa de log₂ n comparações
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada pela busca em profundidade (DFS) na versão iterativa?

  1. AApenas uma tabela hash
  2. BUm heap
  3. CUma pilha
  4. DUma fila
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual par de percursos sempre determina uma árvore binária única com chaves distintas?

  1. APré-ordem e pós-ordem
  2. BSó a pré-ordem
  3. CPré-ordem e em ordem
  4. DSó o percurso por níveis
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 3
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
415281112195114ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 5; as arestas descartadas não contam.

k = 5
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta GB
  8. 8aresta GC
  9. 9aresta GD
  10. 10aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Um array que já está ordenado

Porque é esta a resposta

Com entrada ordenada, o pivô é sempre o mínimo, então um lado fica vazio e o outro tem n − 1 elementos, o que dá O(n²).

Resposta

C · Um array que já está ordenado
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n

Porque é esta a resposta

Cada comparação no máximo divide pela metade o conjunto de possibilidades restantes, então distinguir n posições exige pelo menos log₂ n comparações.

Resposta

C · Uma árvore de decisão com n resultados possíveis precisa ter profundidade de pelo menos log₂ n
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma pilha

Porque é esta a resposta

A DFS explora o mais fundo possível, usando naturalmente uma pilha (ou a pilha de chamadas da recursão); a BFS usa uma fila.

Resposta

C · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Pré-ordem e em ordem

Porque é esta a resposta

A pré-ordem dá a raiz, e a posição dela na sequência em ordem separa as subárvores esquerda e direita; pré-ordem com pós-ordem é ambígua quando um nó tem um só filho.

Resposta

C · Pré-ordem e em ordem
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 6 = 2(L + 2) − 2
L = 4

Resposta

L = 4

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta CE

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. GD (1)
2. BC (2)
3. AB (4)
4. GC (5)
5. CE (11)
6. DF (12)

número da aresta 5

CE

Resposta

aresta CE

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