Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo amortizada de adicionar ao final de um array dinâmico que dobra sua capacidade quando fica cheio?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de programação dinâmica de Held–Karp resolve o problema do caixeiro-viajante de forma exata. Qual é o seu tempo de execução para n cidades?

  1. AO(n³)
  2. BO(2n²)
  3. CO(n² 2ⁿ)
  4. DO(n!)
3.Estruturas de dadosMédia

O que é verdade sobre a matriz de adjacência de um grafo não direcionado?

  1. AA diagonal principal sempre contém uns
  2. BÉ sempre triangular superior
  3. CÉ simétrica em relação à diagonal principal
  4. DCada linha tem exatamente um 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que não se pode simplesmente remover elementos de um filtro de Bloom padrão zerando seus bits?

  1. AFiltros de Bloom armazenam os elementos completos, que não podem ser localizados de novo depois do hash
  2. BEsses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
  3. COs bits de um filtro de Bloom não podem ser alterados depois da criação
  4. DRemover aumentaria a taxa de falsos positivos para 100%
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 7 vértices e 13 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 7|E| = 13
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
2085911183ABCDE

O algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima a partir do vértice A. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2.

início: Ak = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(1)

Porque é esta a resposta

A cópia de todos os elementos só acontece em potências de dois; distribuído entre todas as inserções, o custo médio por inserção é constante.

Resposta

B · O(1)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n² 2ⁿ)

Porque é esta a resposta

Há cerca de n 2ⁿ estados, cada um calculado em O(n); isso é exponencial, mas muito mais rápido que testar todos os (n − 1)! percursos.

Resposta

C · O(n² 2ⁿ)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · É simétrica em relação à diagonal principal

Porque é esta a resposta

Em um grafo não direcionado, a aresta {u, v} significa que M[u][v] e M[v][u] estão marcados, então a matriz é igual à sua transposta.

Resposta

C · É simétrica em relação à diagonal principal
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos

Porque é esta a resposta

Zerar um bit compartilhado faria outro elemento parecer ausente; filtros de Bloom com contagem usam contadores em vez de bits para permitir a remoção.

Resposta

B · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 7

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

7 − 1 = 6

Arestas a remover

k = 13 − 6 = 7

Resposta

k = 7
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta BC

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Prim

1. AC (8)
2. BC (5)
3. BE (3)
4. BD (9)

número da aresta 2

BC

Resposta

aresta BC

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