Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo encontra os caminhos mínimos a partir de uma origem em um grafo com pesos de arestas não negativos?

  1. ABellman-Ford é necessário em todos os casos
  2. BBusca em profundidade (DFS)
  3. CAlgoritmo de Dijkstra
  4. DAlgoritmo de Kruskal
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) faça trabalho O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n √n)
3.Estruturas de dadosMédia

O que acontece quando uma tabela hash faz rehash depois que o fator de carga passa de um limite?

  1. AUma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
  2. BAs chaves mais antigas são apagadas para abrir espaço
  3. CAs chaves existentes são ordenadas no próprio lugar
  4. DSó as chaves que colidiram são movidas para uma nova lista de overflow no fim da tabela
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que um servidor pode escolher sua função hash ao acaso a partir de uma família universal?

  1. APara garantir que duas chaves nunca colidam, quaisquer que sejam as chaves enviadas por um atacante
  2. BPara eliminar a necessidade de redimensionar a tabela
  3. CPara tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
  4. DPara manter a tabela hash ordenada
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 17 vértices e 25 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 17|E| = 25
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
211651041914311ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Algoritmo de Dijkstra

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Dijkstra funciona com pesos não negativos; Bellman-Ford lida com pesos negativos; Kruskal constrói árvores geradoras mínimas.

Resposta

C · Algoritmo de Dijkstra
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O total é n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e o número harmônico Hn é Θ(log n).

Resposta

C · O(n log n)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo

Porque é esta a resposta

Como o índice é calculado módulo o tamanho da tabela, todas as chaves precisam ser reinseridas na nova tabela maior; dobrando o tamanho, o custo continua O(1) amortizado.

Resposta

A · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si

Porque é esta a resposta

Com hashing universal, o número esperado de colisões é pequeno para qualquer conjunto de chaves, já que o atacante não sabe qual função foi escolhida.

Resposta

C · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 9

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

17 − 1 = 16

Arestas a remover

k = 25 − 16 = 9

Resposta

k = 9
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 29

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

AC (1): tomar
AB (2): tomar
GD (3): tomar
DE (4): tomar
BD (5): tomar
CE (10): descartar, fecha um ciclo
GE (11): descartar, fecha um ciclo
EF (14): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 14 = 29

Resposta

W = 29

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