Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Tomar as duas extremidades de cada aresta de um emparelhamento maximal dá uma cobertura de vértices. Quão boa é essa cobertura?

  1. ANo máximo log n vezes o mínimo
  2. BNo máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
  3. CDe qualidade desconhecida em relação ao ótimo
  4. DSempre uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dadosMédia

Quantos nós tem uma árvore binária perfeita de altura h, com a altura contada em arestas?

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. C2h + 1
  4. Dh2
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
  2. BOrdenar as arestas por peso
  3. CArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
  4. DEscolher o vértice inicial
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
51311110111073ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Há n níveis com trabalho constante cada, como numa soma recursiva de um array.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima

Porque é esta a resposta

As arestas do emparelhamento não compartilham vértices, então o ótimo precisa de pelo menos um vértice por aresta, enquanto esse método toma dois: uma 2-aproximação.

Resposta

B · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 2h+1 − 1

Porque é esta a resposta

Somar 1 + 2 + 4 + ... + 2h dá 2h+1 − 1; por exemplo, altura 2 dá 7 nós.

Resposta

A · 2h+1 − 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

A · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Vértices ímpares

B, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 27

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 5
B (5): C: 18, D: 6, G: 15
D (6): E: 16, G: 13
G (13)
E (16): F: 27
C (18)
F (27)

Caminho mais curto

A → B → D → E → F
d(F) = 27

Resposta

d(F) = 27

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