Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
  2. BO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
  3. CO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
  4. DO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para mostrar que um novo problema X é NP-difícil, o que você precisa fazer?

  1. AMostrar que X pode ser verificado em tempo polinomial
  2. BMostrar que X não tem algoritmo polinomial para entradas pequenas
  3. CReduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
  4. DReduzir X a um problema NP-difícil conhecido em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Por que um heap binário pode ser armazenado em um array sem nenhum ponteiro?

  1. AHeaps nunca têm mais de 100 elementos
  2. BÉ uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice
  3. CTodas as chaves de um heap são iguais
  4. DArrays mantêm as chaves automaticamente em ordem, então não são necessários ponteiros
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade mantém toda árvore B perfeitamente balanceada?

  1. AAs chaves ficam armazenadas apenas na raiz
  2. BCada nó armazena uma chave
  3. CTodas as folhas estão na mesma profundidade
  4. DTodo nó tem exatamente dois filhos
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 11 vértices e 20 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 11|E| = 20
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
111415184111210ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 5; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

A · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Se um problema difícil conhecido pode ser transformado em X de forma eficiente, um algoritmo rápido para X também resolveria o problema conhecido.

Resposta

C · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: B · É uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice

Porque é esta a resposta

Ser completa significa não ter lacunas, então os filhos do índice i estão sempre em 2i + 1 e 2i + 2.

Resposta

B · É uma árvore binária completa, então as posições seguem fórmulas simples de índice
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Todas as folhas estão na mesma profundidade

Porque é esta a resposta

Os nós se dividem para cima quando estão cheios e a árvore só fica mais alta quando a raiz se divide, então todas as folhas ficam sempre no mesmo nível.

Resposta

C · Todas as folhas estão na mesma profundidade
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

11 − 1 = 10

Arestas a remover

k = 20 − 10 = 10

Resposta

k = 10
6.Teoria dos grafos

Resposta: C

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 11, C: 14
2. B (11): D: 12, G: 15
3. D (12): F: 13
4. F (13): E: 21
5. C (14): E: 19
6. G (15)
7. E (19)

rodada 5

C

Resposta

C

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