Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que muitas rotinas de ordenação de bibliotecas passam para o insertion sort em subarrays muito pequenos?

  1. AO insertion sort é O(n log n) no pior caso
  2. BAlgoritmos recursivos não conseguem lidar com arrays de menos de 10 elementos
  3. CO insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
  4. DO insertion sort usa menos memória que qualquer outro algoritmo de ordenação em entradas grandes
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual técnica dá ao quicksort um tempo de execução esperado O(n log n) para qualquer entrada?

  1. AOrdenar a entrada antes de executar o quicksort
  2. BUsar recursão apenas no lado esquerdo
  3. CEscolher o pivô de forma uniformemente aleatória
  4. DSempre escolher o primeiro elemento
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. ATodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  2. BAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  3. CTodo nó é colorido de vermelho ou preto
  4. DAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
4.Estruturas de dadosDifícil

Um objeto é armazenado como chave em um hash map e depois um campo usado pela sua função hash é alterado. Qual é o resultado provável?

  1. AA busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
  2. BO map lança um erro no momento em que o campo muda
  3. CO map move automaticamente a chave para o novo bucket
  4. DNada muda, porque o hash de uma chave é calculado uma só vez, quando o programa começa
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 4, 3 vértices de grau 5, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
8413128412ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas

Porque é esta a resposta

Para n pequeno, o laço simples do insertion sort supera o overhead de recursão do quicksort ou do merge sort, embora seja O(n²).

Resposta

C · O insertion sort tem pouco overhead e é rápido com entradas pequenas ou quase ordenadas
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória

Porque é esta a resposta

Com um pivô aleatório, o tempo esperado é O(n log n) para toda entrada; casos ruins ainda existem, mas são muito improváveis.

Resposta

C · Escolher o pivô de forma uniformemente aleatória
3.Estruturas de dados

Resposta: B · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

B · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo

Porque é esta a resposta

A posição da chave foi escolhida pelo hash antigo; com um novo hash, as buscas olham o bucket errado, então as chaves devem ser imutáveis.

Resposta

A · A busca pelo objeto pode falhar, porque ele está no bucket do hash antigo
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 15

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 23 = 2(L + 5) − 2
L = 15

Resposta

L = 15

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 15

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): C: 8
C (8): B: 12, E: 11
E (11): D: 23, F: 15
B (12): D: 13
D (13)
F (15)

Caminho mais curto

A → C → E → F
d(F) = 15

Resposta

d(F) = 15

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