Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual afirmação sobre uma função recursiva sem caso base alcançável está correta?

  1. AEla roda em tempo O(1)
  2. BEla retorna 0 automaticamente
  3. CO compilador sempre a transforma em um laço que termina com segurança
  4. DEla continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Para mostrar que um novo problema X é NP-difícil, o que você precisa fazer?

  1. AReduzir X a um problema NP-difícil conhecido em tempo polinomial
  2. BMostrar que X não tem algoritmo polinomial para entradas pequenas
  3. CReduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
  4. DMostrar que X pode ser verificado em tempo polinomial
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V²)
  2. BO(E²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual afirmação sobre o heapsort está correta?

  1. ARoda em tempo O(n) para qualquer entrada
  2. BÉ estável e precisa de O(n) de memória extra
  3. CPrecisa de uma árvore binária de busca como armazenamento extra, então usa O(n) de memória adicional
  4. DOrdena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
1697125171420ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar

Porque é esta a resposta

Sem caso base, a recursão nunca para; na prática, a memória para os quadros de pilha se esgota e o programa trava.

Resposta

D · Ela continua chamando a si mesma até a pilha de chamadas estourar
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial

Porque é esta a resposta

Se um problema difícil conhecido pode ser transformado em X de forma eficiente, um algoritmo rápido para X também resolveria o problema conhecido.

Resposta

C · Reduzir um problema NP-difícil conhecido a X em tempo polinomial
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

C · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável

Porque é esta a resposta

O heapsort constrói um max-heap e extrai o máximo n vezes dentro do mesmo array; trocas a longas distâncias podem mudar a ordem de chaves iguais.

Resposta

D · Ordena no próprio lugar em O(n log n) no pior caso, mas não é estável
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 31

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BD (1): tomar
CE (2): tomar
DE (5): tomar
BC (7): descartar, fecha um ciclo
AC (9): tomar
EF (14): tomar

Peso total

W = 1 + 2 + 5 + 9 + 14 = 31

Resposta

W = 31

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