Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um quicksort usa sempre o primeiro elemento como pivô. Com qual entrada ele apresenta o comportamento de pior caso?

  1. AUm array em ordem aleatória
  2. BUm array que já está ordenado
  3. CUm array com todos os elementos diferentes
  4. DUm array de tamanho 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre selecionar o k-ésimo menor elemento de um array não ordenado está correta?

  1. AO quickselect roda em O(log n) no pior caso, porque faz recursão em apenas um lado do pivô
  2. BA seleção sempre exige Ω(n log n), porque requer ordenação
  3. CA seleção só é possível em O(n²)
  4. DO quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pré-ordem?

  1. A4 5 2 3 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 3 4 5
4.Estruturas de dadosDifícil

No algoritmo de Kruskal para árvore geradora mínima, para que serve a estrutura union-find?

  1. AArmazenar durante a busca a distância atual de cada vértice até a origem
  2. BOrdenar as arestas por peso
  3. CEscolher o vértice inicial
  4. DVerificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
20734691415ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Um array que já está ordenado

Porque é esta a resposta

Com entrada ordenada, o pivô é sempre o mínimo, então um lado fica vazio e o outro tem n − 1 elementos, o que dá O(n²).

Resposta

B · Um array que já está ordenado
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso

Porque é esta a resposta

O trabalho esperado do quickselect é n + n/2 + n/4 + ... = O(n) com pivôs aleatórios; escolher o pivô como mediana das medianas torna o pior caso linear.

Resposta

D · O quickselect roda em O(n) esperado, e a mediana das medianas garante O(n) no pior caso
3.Estruturas de dados

Resposta: B · 1 2 4 5 3

Porque é esta a resposta

A pré-ordem visita 1, depois a subárvore esquerda (2, 4, 5), depois 3; as outras opções são em ordem, pós-ordem e por níveis.

Resposta

B · 1 2 4 5 3
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas

Porque é esta a resposta

O find diz se as duas extremidades estão no mesmo componente; se não estiverem, a aresta é adicionada e o union funde os componentes.

Resposta

D · Verificar se as duas extremidades de uma aresta já estão conectadas
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

A, C → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 34

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BC (3): tomar
BD (4): tomar
CE (6): tomar
AC (7): tomar
DE (9): descartar, fecha um ciclo
EF (14): tomar

Peso total

W = 3 + 4 + 6 + 7 + 14 = 34

Resposta

W = 34

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