Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um quicksort usa sempre o primeiro elemento como pivô. Com qual entrada ele apresenta o comportamento de pior caso?

  1. AUm array que já está ordenado
  2. BUm array de tamanho 2
  3. CUm array com todos os elementos diferentes
  4. DUm array em ordem aleatória
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais são os custos de tempo e espaço de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com um laço que guarda só os dois últimos valores?

  1. ATempo O(n) e espaço O(n)
  2. BTempo O(log n) e espaço O(n)
  3. CTempo O(n) e espaço O(1)
  4. DTempo O(2ⁿ) e espaço O(1)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pós-ordem?

  1. A5 4 3 2 1
  2. B1 2 4 5 3
  3. C4 5 2 3 1
  4. D4 2 5 1 3
4.Estruturas de dadosDifícil

A complexidade de tempo de decrease-key em um heap binário (dada a posição do elemento) é:

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 10 vértices e 13 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 10|E| = 13
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
12114515759ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Um array que já está ordenado

Porque é esta a resposta

Com entrada ordenada, o pivô é sempre o mínimo, então um lado fica vazio e o outro tem n − 1 elementos, o que dá O(n²).

Resposta

A · Um array que já está ordenado
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Tempo O(n) e espaço O(1)

Porque é esta a resposta

Cada passo precisa só dos dois valores anteriores, então a tabela do método bottom-up pode ser substituída por duas variáveis.

Resposta

C · Tempo O(n) e espaço O(1)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 4 5 2 3 1

Porque é esta a resposta

A pós-ordem processa 4 e 5 antes de 2, depois 3 e por fim a raiz 1.

Resposta

C · 4 5 2 3 1
4.Estruturas de dados

Resposta: C · O(log n)

Porque é esta a resposta

Após diminuir a chave, o elemento sobe (sift-up) no máximo a altura do heap. Heaps de Fibonacci alcançam decrease-key em O(1) amortizado.

Resposta

C · O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

10 − 1 = 9

Arestas a remover

k = 13 − 9 = 4

Resposta

k = 4
6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 12, C: 1
2. C (1): E: 16
3. B (12): D: 17
4. E (16): F: 21
5. D (17)
6. F (21)

rodada 4

E

Resposta

E

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