Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O limite inferior para ordenação baseada em comparações no pior caso é:

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais são os custos de tempo e espaço de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com um laço que guarda só os dois últimos valores?

  1. ATempo O(n) e espaço O(n)
  2. BTempo O(n) e espaço O(1)
  3. CTempo O(log n) e espaço O(n)
  4. DTempo O(2ⁿ) e espaço O(1)
3.Estruturas de dadosMédia

Como funciona o extract-min em um min-heap binário?

  1. ARemove-se o último elemento do array
  2. BRemove-se a raiz e desloca-se todos os elementos uma posição à esquerda
  3. CProcura-se o novo mínimo em todas as folhas
  4. DMove-se o último elemento para a raiz e faz-se sift-down
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que um servidor pode escolher sua função hash ao acaso a partir de uma família universal?

  1. APara tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
  2. BPara garantir que duas chaves nunca colidam, quaisquer que sejam as chaves enviadas por um atacante
  3. CPara manter a tabela hash ordenada
  4. DPara eliminar a necessidade de redimensionar a tabela
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
61227114201610ABCDEF

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 3; as arestas descartadas não contam.

k = 3
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta BD
  5. 5aresta CE
  6. 6aresta DE
  7. 7aresta DF
  8. 8aresta EF
  9. 9aresta BE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Ω(n log n)

Porque é esta a resposta

Qualquer ordenação por comparação precisa de pelo menos log₂(n!) ≈ n log n comparações no pior caso. O counting sort supera esse limite porque não faz comparações.

Resposta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Tempo O(n) e espaço O(1)

Porque é esta a resposta

Cada passo precisa só dos dois valores anteriores, então a tabela do método bottom-up pode ser substituída por duas variáveis.

Resposta

B · Tempo O(n) e espaço O(1)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Move-se o último elemento para a raiz e faz-se sift-down

Porque é esta a resposta

O último elemento preenche o buraco na raiz e é trocado com o menor filho até a propriedade de heap valer, em O(log n).

Resposta

D · Move-se o último elemento para a raiz e faz-se sift-down
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si

Porque é esta a resposta

Com hashing universal, o número esperado de colisões é pequeno para qualquer conjunto de chaves, já que o atacante não sabe qual função foi escolhida.

Resposta

A · Para tornar muito improvável que um atacante escolha muitas chaves que colidam entre si
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

C, D → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta AB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. CE (1)
2. BC (2)
3. AB (6)
4. BD (7)
5. EF (16)

número da aresta 3

AB

Resposta

aresta AB

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