Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ANenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  2. BSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  3. CApenas entradas aleatórias
  4. DUm único laço
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre P e NP está correta?

  1. ATodo problema em P também está em NP
  2. BNP significa "não polinomial"
  3. CSoluções de problemas NP não podem ser verificadas rapidamente
  4. DFoi provado que P ≠ NP
3.Estruturas de dadosMédia

Que condição de balanceamento uma árvore AVL mantém em todo nó?

  1. AAs duas subárvores de todo nó têm exatamente o mesmo número de nós
  2. BTodas as folhas estão exatamente na mesma profundidade
  3. CAs alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
  4. DTodo nó é colorido de vermelho ou preto
4.Estruturas de dadosDifícil

As chaves 5, 3, 8, 1 são inseridas nessa ordem em um min-heap binário vazio baseado em array. Qual é o array final?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
993175154135149ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Todo problema em P também está em NP

Porque é esta a resposta

P ⊆ NP: se você consegue resolver um problema rapidamente, consegue verificar uma solução rapidamente. Se P = NP ainda é uma questão em aberto.

Resposta

A · Todo problema em P também está em NP
3.Estruturas de dados

Resposta: C · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1

Porque é esta a resposta

O fator de balanceamento (altura esquerda − altura direita) deve ser −1, 0 ou 1; rotações o restauram depois de inserções e remoções.

Resposta

C · As alturas das subárvores esquerda e direita diferem no máximo em 1
4.Estruturas de dados

Resposta: D · [1, 3, 8, 5]

Porque é esta a resposta

Depois de 5, 3, 8, o array é [3, 5, 8]; 1 vai para o índice 3, troca com o pai 5 e depois com 3, o que dá [1, 3, 8, 5].

Resposta

D · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dos grafos

Resposta: nenhuma das duas

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

Vértices ímpares

B, C, D, E → 4
nenhuma das duas

Resposta

nenhuma das duas
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 19

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 9, C: 9
B (9): D: 10, G: 22
C (9): E: 16, G: 14
D (10): E: 15, F: 25
G (14)
E (15): F: 19
F (19)

Caminho mais curto

A → B → D → E → F
d(F) = 19

Resposta

d(F) = 19

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