Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

O que a análise amortizada mede?

  1. AO custo de um algoritmo com a melhor entrada
  2. BO custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
  3. CO custo esperado sobre entradas aleatórias
  4. DO custo da operação individual mais cara em qualquer ponto da sequência
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Tomar as duas extremidades de cada aresta de um emparelhamento maximal dá uma cobertura de vértices. Quão boa é essa cobertura?

  1. ANo máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
  2. BDe qualidade desconhecida em relação ao ótimo
  3. CSempre uma cobertura de vértices mínima
  4. DNo máximo log n vezes o mínimo
3.Estruturas de dadosMédia

Quanto tempo leva a busca de uma palavra de comprimento L em uma trie com alfabeto fixo?

  1. AO(L × n)
  2. BO(log n), em que n é o número de palavras
  3. CO(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
  4. DO(n), em que n é o número de palavras
4.Estruturas de dadosDifícil

Para cada elemento de um array, você quer o próximo elemento maior à sua direita, em tempo total O(n). Qual estrutura ajuda?

  1. AUma fila que guarda todos os pares de elementos
  2. BUma tabela hash com todos os elementos
  3. CUma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
  4. DUma árvore binária de busca reconstruída para cada elemento
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K4? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K4
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
17141319164103111ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso

Porque é esta a resposta

A análise amortizada distribui o custo de operações caras e raras por muitas operações baratas, dando uma média garantida para qualquer sequência.

Resposta

B · O custo médio por operação ao longo de uma sequência de operações de pior caso
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima

Porque é esta a resposta

As arestas do emparelhamento não compartilham vértices, então o ótimo precisa de pelo menos um vértice por aresta, enquanto esse método toma dois: uma 2-aproximação.

Resposta

A · No máximo o dobro do tamanho de uma cobertura de vértices mínima
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas

Porque é esta a resposta

Cada caractere escolhe um filho, então uma busca leva L passos, não importa quantas palavras a trie contenha.

Resposta

C · O(L), independentemente de quantas palavras estão armazenadas
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta

Porque é esta a resposta

Percorrendo da esquerda para a direita, desempilhe todo elemento menor que o atual (o atual é a resposta deles) e depois empilhe-o; cada elemento se move no máximo duas vezes.

Resposta

C · Uma pilha que guarda os elementos que esperam pela resposta
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Resposta

H = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 45

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GE (1): tomar
GB (3): tomar
DF (4): tomar
EF (10): tomar
GD (11): descartar, fecha um ciclo
BC (13): tomar
AC (14): tomar

Peso total

W = 1 + 3 + 4 + 10 + 13 + 14 = 45

Resposta

W = 45

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