Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Num array ordenado, você procura dois elementos cuja soma seja um alvo movendo um ponteiro de cada extremidade para dentro. Qual é a complexidade de tempo?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

22n está em O(2ⁿ)?

  1. ASim, porque ambos são exponenciais
  2. BNão, porque 22n cresce mais devagar que 2ⁿ
  3. CNão, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
  4. DSim, porque fatores constantes no expoente são sempre ignorados no O grande
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados é usada para verificar se os parênteses em "{[()]}" estão balanceados?

  1. AUma pilha
  2. BUma fila
  3. CUma tabela hash
  4. DUma árvore binária de busca
4.Estruturas de dadosDifícil

Um nó AVL está desbalanceado porque a subárvore direita do seu filho esquerdo ficou alta demais (caso esquerda-direita). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
  2. BUma rotação simples à esquerda no nó
  3. CUma rotação à direita no filho esquerdo e depois uma à esquerda no nó
  4. DUma rotação simples à direita no nó
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K8? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K8
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
122487623ABCDEF

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Se a soma for pequena demais, o ponteiro da esquerda vai para a direita; se for grande demais, o da direita vai para a esquerda, então há no máximo n passos.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite

Porque é esta a resposta

Uma constante somada ao expoente dá um fator constante, mas uma constante multiplicando o expoente muda a base e a taxa de crescimento.

Resposta

C · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma pilha

Porque é esta a resposta

Empilhe cada símbolo de abertura e desempilhe quando aparecer um de fechamento; ele deve corresponder ao desempilhado e a pilha deve estar vazia no final.

Resposta

A · Uma pilha
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó

Porque é esta a resposta

A primeira rotação converte o caso esquerda-direita em um caso esquerda-esquerda, que uma rotação à direita no nó desbalanceado então corrige.

Resposta

A · Uma rotação à esquerda no filho esquerdo e depois uma à direita no nó
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 2520

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Resposta

H = 2520
6.Teoria dos grafos

Resposta: B

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 12, C: 2
2. C (2): B: 6, E: 9
3. B (6): D: 14
4. E (9): F: 12
5. F (12)
6. D (14)

rodada 3

B

Resposta

B

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