Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com uma tabela bottom-up?

  1. AO(log n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da parada mostra que:

  1. ANenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
  2. BLaços devem ser evitados
  3. CTodo programa acaba parando
  4. DAlguns programas rodam mais rápido em computadores mais rápidos, então a parada depende do hardware
3.Estruturas de dadosMédia

Em um min-heap binário armazenado em um array (índices começando em 0), os filhos do nó no índice i estão em:

  1. A2i + 1 e 2i + 2
  2. Bi/2 e i/2 + 1
  3. Ci + 1 e i + 2
  4. D2i e 2i + 1
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que não se pode simplesmente remover elementos de um filtro de Bloom padrão zerando seus bits?

  1. AOs bits de um filtro de Bloom não podem ser alterados depois da criação
  2. BFiltros de Bloom armazenam os elementos completos, que não podem ser localizados de novo depois do hash
  3. CEsses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
  4. DRemover aumentaria a taxa de falsos positivos para 100%
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 3 vértices de grau 4, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

3 × deg 4
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
31321091410141231ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(E) do caminho mais curto de A até E no grafo ponderado.

início: Afim: E
d(E) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Preencher a tabela de 0 a n custa uma adição por entrada, então o trabalho é linear em vez de exponencial.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para

Porque é esta a resposta

Turing mostrou que o problema da parada é indecidível: supor que existe um decisor leva a uma contradição com um programa que faz o oposto.

Resposta

A · Nenhum algoritmo consegue decidir, para todo programa e toda entrada, se o programa para
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 2i + 1 e 2i + 2

Porque é esta a resposta

Em arrays indexados a partir de 0, o filho esquerdo fica em 2i + 1, o filho direito em 2i + 2 e o pai em ⌊(i − 1)/2⌋.

Resposta

A · 2i + 1 e 2i + 2
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos

Porque é esta a resposta

Zerar um bit compartilhado faria outro elemento parecer ausente; filtros de Bloom com contagem usam contadores em vez de bits para permitir a remoção.

Resposta

C · Esses bits podem pertencer também a outros elementos, o que causaria falsos negativos
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 8

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 12 = 2(L + 3) − 2
L = 8

Resposta

L = 8

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(E) = 9

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 3, C: 13
B (3): C: 5, D: 13, G: 15
C (5): E: 14, G: 8
G (8): E: 9
E (9): F: 23
D (13)
F (23)

Caminho mais curto

A → B → C → G → E
d(E) = 9

Resposta

d(E) = 9

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