Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

  1. AEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
  2. BEscolher a atividade que começa mais cedo
  3. CEscolher primeiro a atividade mais curta
  4. DEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Como n! e 2ⁿ se comparam para n grande?

  1. ACrescem no mesmo ritmo
  2. B2ⁿ cresce mais rápido que n!
  3. Cn! cresce mais rápido que 2ⁿ
  4. Dn! é O(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual método de resolução de colisões armazena as chaves que colidem em uma lista no mesmo bucket?

  1. ASondagem quadrática (quadratic probing)
  2. BEncadeamento separado (separate chaining)
  3. CSondagem linear (linear probing)
  4. DHash duplo (double hashing)
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em E? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

A · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · n! cresce mais rápido que 2ⁿ

Porque é esta a resposta

Para n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e a razão cresce sem limite porque cada fator extra de n! é maior que 2.

Resposta

C · n! cresce mais rápido que 2ⁿ
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Encadeamento separado (separate chaining)

Porque é esta a resposta

O encadeamento mantém uma lista encadeada (ou outra estrutura) por bucket; o endereçamento aberto procura outra posição livre na própria tabela.

Resposta

B · Encadeamento separado (separate chaining)
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 3

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 0 1 0 0
B: 0 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 3

Resposta

N = 3

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