Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual algoritmo de ordenação é estável?

  1. AQuicksort (versão in-place típica)
  2. BSelection sort (versão típica)
  3. CHeap sort
  4. DMerge sort
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

22n está em O(2ⁿ)?

  1. ANão, porque 22n cresce mais devagar que 2ⁿ
  2. BSim, porque ambos são exponenciais
  3. CNão, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
  4. DSim, porque fatores constantes no expoente são sempre ignorados no O grande
3.Estruturas de dadosMédia

Uma rede rodoviária tem 100,000 cruzamentos, cada um ligado a cerca de 4 outros. Qual representação é mais adequada?

  1. AMatriz de adjacência
  2. BUm único array ordenado de vértices
  3. CLista de adjacência
  4. DUm heap binário de arestas
4.Estruturas de dadosDifícil

Sem união por posto nem compressão de caminho, qual é o custo no pior caso de um único find em uma estrutura union-find com n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(α(n))
  4. DO(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 17 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
836591211271420ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Merge sort

Porque é esta a resposta

O merge sort é estável quando, em caso de empate, a intercalação pega primeiro da metade esquerda. Quicksort in-place, heap sort e selection sort geralmente não são estáveis.

Resposta

D · Merge sort
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite

Porque é esta a resposta

Uma constante somada ao expoente dá um fator constante, mas uma constante multiplicando o expoente muda a base e a taxa de crescimento.

Resposta

C · Não, porque 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce sem limite
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Lista de adjacência

Porque é esta a resposta

Uma matriz precisaria de 1010 células, quase todas vazias; uma lista de adjacência armazena só as cerca de 400,000 entradas de arestas.

Resposta

C · Lista de adjacência
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Uniões ingênuas podem ligar as árvores em uma longa cadeia, então o find pode seguir n − 1 ponteiros para o pai; as duas heurísticas o deixam perto de constante.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 6

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 17 − 11 = 6

Resposta

k = 6
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 36

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GB (2): tomar
AC (3): tomar
CE (5): tomar
BC (6): tomar
GC (7): descartar, fecha um ciclo
AB (8): descartar, fecha um ciclo
DE (9): tomar
EF (11): tomar

Peso total

W = 2 + 3 + 5 + 6 + 9 + 11 = 36

Resposta

W = 36

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