Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ANenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
  2. BUm único laço
  3. CApenas entradas aleatórias
  4. DSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Quais são os custos de tempo e espaço de calcular o n-ésimo número de Fibonacci com um laço que guarda só os dois últimos valores?

  1. ATempo O(2ⁿ) e espaço O(1)
  2. BTempo O(n) e espaço O(n)
  3. CTempo O(log n) e espaço O(n)
  4. DTempo O(n) e espaço O(1)
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. AOrdem crescente
  2. BOrdem por nível
  3. CSempre ordem decrescente
  4. DOrdem de inserção
4.Estruturas de dadosDifícil

As chaves 5, 3, 8, 1 são inseridas nessa ordem em um min-heap binário vazio baseado em array. Qual é o array final?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K6? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K6
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
1720861618351913ABCDEFG

O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima. Clique na aresta que ele acrescenta como aresta de número 2; as arestas descartadas não contam.

k = 2
  1. 1aresta AB
  2. 2aresta AC
  3. 3aresta BC
  4. 4aresta CE
  5. 5aresta DE
  6. 6aresta DF
  7. 7aresta EF
  8. 8aresta GB
  9. 9aresta GC
  10. 10aresta GE

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

D · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Tempo O(n) e espaço O(1)

Porque é esta a resposta

Cada passo precisa só dos dois valores anteriores, então a tabela do método bottom-up pode ser substituída por duas variáveis.

Resposta

D · Tempo O(n) e espaço O(1)
3.Estruturas de dados

Resposta: A · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

A · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: B · [1, 3, 8, 5]

Porque é esta a resposta

Depois de 5, 3, 8, o array é [3, 5, 8]; 1 vai para o índice 3, troca com o pai 5 e depois com 3, o que dá [1, 3, 8, 5].

Resposta

B · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 60

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Resposta

H = 60
6.Teoria dos grafos

Resposta: aresta GB

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

1. EF (3)
2. GB (5)
3. CE (6)
4. BC (8)
5. DE (16)
6. AB (17)

número da aresta 2

GB

Resposta

aresta GB

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