Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árvore e floresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em K_n: (n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L: (Mᴸ)_ij

Método

Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

ANenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
BSubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
CApenas entradas aleatórias
DUm único laço

2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de Strassen multiplica matrizes usando 7, em vez de 8, multiplicações recursivas de blocos de metade do tamanho. Qual é o seu tempo de execução?

AΘ(n³)
BΘ(n^{log₂ 7}), cerca de n^2,81
CΘ(n²)
DΘ(n² log n)

3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

AO(V²)
BO(V + E)
CO(V × E)
DO(E²)

4.Estruturas de dadosDifícil

As chaves 5, 3, 8, 1 são inseridas nessa ordem em um min-heap binário vazio baseado em array. Qual é o array final?

A[1, 3, 8, 5]
B[3, 1, 8, 5]
C[1, 3, 5, 8]
D[1, 5, 8, 3]

5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 2 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

2 × deg 34 × deg 2

L =

6.Teoria dos grafosDifícil

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F

d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

B · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Θ(n^{log₂ 7}), cerca de n^2,81

Porque é esta a resposta

Com a = 7 e b = 2, n^{log₂ 7} domina o trabalho O(n²) das adições, o que dá cerca de n^2,81.

Resposta

B · Θ(n^{log₂ 7}), cerca de n^2,81

3.Estruturas de dados

Resposta: B · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

B · O(V + E)

4.Estruturas de dados

Resposta: A · [1, 3, 8, 5]

Porque é esta a resposta

Depois de 5, 3, 8, o array é [3, 5, 8]; 1 vai para o índice 3, troca com o pai 5 e depois com 3, o que dá [1, 3, 8, 5].

Resposta

A · [1, 3, 8, 5]

5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 4

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; K_n tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 14 = 2(L + 6) − 2

L = 4

Resposta

L = 4

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 25

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 13, C: 14

B (13): D: 15, E: 21

C (14)

D (15): E: 19, F: 25

E (19)

F (25)

Caminho mais curto

A → B → D → F

d(F) = 25

Resposta

d(F) = 25

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