Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Por que a base do logaritmo costuma ser omitida no O grande, como em O(log n)?

  1. AOs logaritmos são sempre arredondados para inteiros
  2. BA base só importa para n pequeno
  3. CLogaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
  4. DTodos os logaritmos em computação têm base 10, então ela fica implícita
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n3)
3.Estruturas de dadosMédia

Um nó de uma árvore binária de busca tem subárvore direita. Onde está o seu sucessor em ordem?

  1. ASempre no seu pai
  2. BNo nó mais à direita da sua subárvore esquerda
  3. CNo nó mais à esquerda da sua subárvore direita
  4. DSempre no seu filho direito
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual é a principal vantagem de uma skip list em relação a uma lista encadeada ordenada?

  1. AEla armazena as chaves sem ordem
  2. BBusca em O(1) garantido, porque cada nó guarda um ponteiro para todos os outros nós
  3. CEla não usa memória extra
  4. DBusca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 19 vértices e 21 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 19|E| = 21
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
914681651537ABCDEFG

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante

Porque é esta a resposta

Mudar a base multiplica o logaritmo por uma constante, e o O grande ignora fatores constantes.

Resposta

C · Logaritmos de bases diferentes diferem apenas por um fator constante
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

A · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: C · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita

Porque é esta a resposta

Todas as chaves maiores próximas do nó estão na sua subárvore direita, e a menor delas é o nó mais à esquerda ali.

Resposta

C · No nó mais à esquerda da sua subárvore direita
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente

Porque é esta a resposta

Níveis aleatórios permitem que as buscas pulem muitos nós, resultando em tempo esperado O(log n) para busca, inserção e remoção.

Resposta

D · Busca esperada em O(log n) usando vários níveis de ponteiros para a frente
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

19 − 1 = 18

Arestas a remover

k = 21 − 18 = 3

Resposta

k = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 45

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

GB (3): tomar
DF (5): tomar
BD (6): tomar
GD (7): descartar, fecha um ciclo
CE (8): tomar
AC (9): tomar
BC (14): tomar

Peso total

W = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 14 = 45

Resposta

W = 45

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