Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Com moedas de 1, 3 e 4 e um valor de 6, quantas moedas o método guloso "maior moeda primeiro" usa, em comparação com o ótimo?

  1. AO guloso usa 2 moedas; o ótimo é 2
  2. BO guloso usa 4 moedas; o ótimo é 3
  3. CO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 3
  4. DO guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual afirmação sobre a notação o pequeno está correta?

  1. A2n = o(n), porque 2n cresce devagar
  2. Bn = o(n²), mas n não é o(n)
  3. Cn = o(n), já que toda função é o pequeno de si mesma
  4. Dn² = o(n)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é o valor da expressão pós-fixa 3 4 + 2 * ?

  1. A24
  2. B10
  3. C11
  4. D14
4.Estruturas de dadosDifícil

Sob hashing uniforme simples, qual é o tempo esperado de uma busca em uma tabela hash com encadeamento, n chaves e m buckets?

  1. AO(log n)
  2. BO(1 + α), em que α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(n)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 10 vértices e 19 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 10|E| = 19
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
91217101234ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2

Porque é esta a resposta

O guloso pega 4 + 1 + 1 = 3 moedas, mas 3 + 3 usa só 2, então o guloso não é ótimo para esse sistema de moedas; a programação dinâmica é.

Resposta

D · O guloso usa 3 moedas; o ótimo é 2
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · n = o(n²), mas n não é o(n)

Porque é esta a resposta

f = o(g) significa que f(n) / g(n) tende a 0; n / n² tende a 0, mas n / n = 1 não.

Resposta

B · n = o(n²), mas n não é o(n)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · 14

Porque é esta a resposta

Empilhe 3 e 4, + dá 7; empilhe 2, * dá 7 × 2 = 14.

Resposta

D · 14
4.Estruturas de dados

Resposta: B · O(1 + α), em que α = n / m

Porque é esta a resposta

Calcular o hash custa O(1) e o comprimento esperado da cadeia é α, então manter α limitado por redimensionamento dá tempo esperado O(1).

Resposta

B · O(1 + α), em que α = n / m
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

10 − 1 = 9

Arestas a remover

k = 19 − 9 = 10

Resposta

k = 10
6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 16

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 9, C: 12
B (9): C: 10, D: 16, E: 13
C (10)
E (13): F: 16
D (16)
F (16)

Caminho mais curto

A → B → E → F
d(F) = 16

Resposta

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms