Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Você ordena um array de n elementos uma vez e depois responde a k consultas de pertinência com busca binária. Qual é o custo total?

  1. AO(k n log n)
  2. BO(n + k)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(nk)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que decorreria se alguém encontrasse um algoritmo de tempo polinomial para um problema NP-completo?

  1. AO problema da parada se tornaria decidível
  2. BTodo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
  3. CSó aquele problema passaria para P
  4. DTodos os algoritmos de tempo exponencial passariam imediatamente a rodar em tempo linear
3.Estruturas de dadosMédia

Uma árvore binária tem raiz 1 com filho esquerdo 2 e filho direito 3; o nó 2 tem filhos 4 (esquerdo) e 5 (direito). Qual é o percurso em pré-ordem?

  1. A1 2 3 4 5
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 2 5 1 3
4.Estruturas de dadosDifícil

Em um buffer circular, front == rear pode significar vazio ou cheio. Qual é uma forma comum de distinguir os dois casos?

  1. AFazer o tamanho do buffer ser uma potência de dois
  2. BManter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
  3. CGuardar front e rear na mesma variável
  4. DSempre limpar o buffer quando front for igual a rear, de modo que o estado seja vazio
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDEFGCircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n log n + k log n)

Porque é esta a resposta

Ordenar custa O(n log n) e cada consulta O(log n); isso supera k varreduras lineares (O(nk)) quando k é grande.

Resposta

C · O(n log n + k log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP

Porque é esta a resposta

Como todo NP se reduz a qualquer problema NP-completo em tempo polinomial, um algoritmo rápido para um dá um algoritmo rápido para todos.

Resposta

B · Todo problema em NP poderia ser resolvido em tempo polinomial, então P = NP
3.Estruturas de dados

Resposta: C · 1 2 4 5 3

Porque é esta a resposta

A pré-ordem visita 1, depois a subárvore esquerda (2, 4, 5), depois 3; as outras opções são em ordem, pós-ordem e por níveis.

Resposta

C · 1 2 4 5 3
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso

Porque é esta a resposta

Com uma contagem, vazio significa count = 0 e cheio significa count = capacidade; com uma posição vazia, cheio é definido como (rear + 1) mod n == front.

Resposta

B · Manter uma contagem separada de elementos, ou sempre deixar uma posição sem uso
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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