Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A busca em largura (BFS) em um grafo não ponderado encontra:

  1. ACaminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
  2. BUma ordenação topológica em todos os grafos
  3. CA árvore geradora mínima
  4. DCaminhos mínimos em grafos que contêm arestas com pesos negativos
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O que o teorema de Cook–Levin estabeleceu?

  1. AO problema da parada é indecidível
  2. BTodo problema NP pode ser resolvido em tempo exponencial
  3. CO problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
  4. DP é diferente de NP
3.Estruturas de dadosMédia

O que acontece quando uma tabela hash faz rehash depois que o fator de carga passa de um limite?

  1. AAs chaves existentes são ordenadas no próprio lugar
  2. BSó as chaves que colidiram são movidas para uma nova lista de overflow no fim da tabela
  3. CUma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
  4. DAs chaves mais antigas são apagadas para abrir espaço
4.Estruturas de dadosDifícil

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, por que a remoção costuma ser feita com um marcador de "lápide" (tombstone)?

  1. AChaves removidas precisam ser mantidas para sempre por segurança, então as posições nunca podem ser reutilizadas
  2. BLápides aceleram o hashing
  3. CIsso deixa a tabela ordenada
  4. DEsvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 16 vértices e 18 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 16|E| = 18
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
341168103157ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 3; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial

Porque é esta a resposta

A BFS visita os nós em ordem de distância (em arestas) a partir da origem, então encontra caminhos mínimos não ponderados em O(V + E).

Resposta

A · Caminhos mínimos em número de arestas a partir do nó inicial
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo

Porque é esta a resposta

Cook e Levin mostraram, de forma independente, que todo problema em NP se reduz ao SAT em tempo polinomial, então o SAT foi o primeiro problema NP-completo conhecido.

Resposta

C · O problema da satisfatibilidade booleana (SAT) é NP-completo
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo

Porque é esta a resposta

Como o índice é calculado módulo o tamanho da tabela, todas as chaves precisam ser reinseridas na nova tabela maior; dobrando o tamanho, o custo continua O(1) amortizado.

Resposta

C · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves

Porque é esta a resposta

Se uma posição removida ficasse vazia, buscas posteriores poderiam parar cedo demais e não encontrar chaves colocadas mais adiante na cadeia de sondagem.

Resposta

D · Esvaziar a posição poderia quebrar a sequência de sondagem de outras chaves
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

16 − 1 = 15

Arestas a remover

k = 18 − 15 = 3

Resposta

k = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: C

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 3
2. B (3): C: 7, D: 14, G: 13
3. C (7): G: 10
4. G (10): E: 17
5. D (14): F: 20
6. E (17)
7. F (20)

rodada 3

C

Resposta

C

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