Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Como o algoritmo de Prim constrói uma árvore geradora mínima?

  1. AOrdena todas as arestas por peso e adiciona cada uma, a menos que forme um ciclo na floresta
  2. BRemove a aresta mais cara até não restarem ciclos
  3. CExecuta uma busca em largura e mantém a árvore da BFS
  4. DFaz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual destes problemas de satisfatibilidade é sabidamente solúvel em tempo polinomial?

  1. ASAT geral em fórmulas na forma normal conjuntiva
  2. BSatisfatibilidade de circuitos
  3. C3-SAT, em que cada cláusula tem exatamente três literais
  4. D2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. ASempre ordem decrescente
  2. BOrdem crescente
  3. COrdem por nível
  4. DOrdem de inserção
4.Estruturas de dadosDifícil

Para uma tabela hash funcionar corretamente, que regra o hash e a igualdade devem seguir?

  1. AOs valores hash devem ser números primos
  2. BChaves iguais devem ter valores hash iguais
  3. CValores hash iguais implicam chaves iguais
  4. DChaves diferentes devem ter valores hash diferentes
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
14157108133296ABCDEFG

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore

Porque é esta a resposta

O algoritmo de Prim, com uma fila de prioridade de arestas de corte, roda em O(E log V) com um heap binário.

Resposta

D · Faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial, adicionando a aresta mais barata que sai da árvore
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais

Porque é esta a resposta

O 2-SAT está em P (tempo linear via componentes fortemente conexas), enquanto o 3-SAT é NP-completo.

Resposta

D · 2-SAT, em que cada cláusula tem no máximo dois literais
3.Estruturas de dados

Resposta: B · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

B · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: B · Chaves iguais devem ter valores hash iguais

Porque é esta a resposta

Se duas chaves iguais tivessem hashes diferentes, iriam para buckets diferentes e as buscas falhariam; chaves diferentes ainda podem compartilhar um hash.

Resposta

B · Chaves iguais devem ter valores hash iguais
5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vértices ímpares

B, E → 2
Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 34

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 14, C: 15
B (14): G: 17
C (15): E: 25
G (17): D: 26, E: 23
E (23): F: 36
D (26): F: 34
F (34)

Caminho mais curto

A → B → G → D → F
d(F) = 34

Resposta

d(F) = 34

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