Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

A programação dinâmica é útil quando um problema tem:

  1. ASubproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
  2. BUm único laço
  3. CApenas entradas aleatórias
  4. DNenhum subproblema, de modo que pode ser resolvido em um único passo
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A multiplicação de Karatsuba satisfaz T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual é a solução?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
  4. DΘ(n²)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual estrutura de dados um programa em execução usa para controlar as chamadas de função ativas e suas variáveis locais?

  1. AA fila da memória heap
  2. BUma tabela hash de funções
  3. CA pilha de chamadas
  4. DUma árvore binária de busca de frames
4.Estruturas de dadosDifícil

Quais são os custos de tempo e de espaço extra para inverter no próprio lugar uma lista simplesmente encadeada?

  1. ATempo O(1) e espaço extra O(1)
  2. BTempo O(n log n) e espaço extra O(1)
  3. CTempo O(n) e espaço extra O(n)
  4. DTempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafosMédia
ABCDECircuito eulerianoCaminho euleriano, sem circuitonenhuma das duas

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Caminho euleriano, sem circuito
  3. 3nenhuma das duas
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDEF

Quantos passeios fechados de comprimento 3 começam e terminam em C? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 3
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima

Porque é esta a resposta

Armazenar os resultados de subproblemas sobrepostos (memoização ou tabulação) evita trabalho repetido, transformando algoritmos exponenciais em polinomiais.

Resposta

A · Subproblemas sobrepostos e subestrutura ótima
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585

Porque é esta a resposta

Como log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, as folhas dominam pelo teorema mestre, superando o método escolar O(n²).

Resposta

C · Θ(nlog₂ 3), cerca de n1,585
3.Estruturas de dados

Resposta: C · A pilha de chamadas

Porque é esta a resposta

Cada chamada empilha um frame e cada retorno o desempilha, e é por isso que a chamada mais recente termina primeiro.

Resposta

C · A pilha de chamadas
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Tempo O(n) e espaço extra O(1)

Porque é esta a resposta

Manter três ponteiros (anterior, atual, próximo) permite inverter cada ligação em uma passada, sem alocar novos nós.

Resposta

D · Tempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: Circuito euleriano

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vértices ímpares

0
Circuito euleriano

Resposta

Circuito euleriano
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Mais um passo

(M³)CC = 1·1 + 1·1 + 2·0 + 1·0 + 1·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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