Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a complexidade de tempo de: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que a busca média em uma tabela hash é O(1), mas o pior caso é O(n)?

  1. AArrays têm acesso O(n)
  2. BMuitas chaves podem colidir no mesmo bucket
  3. CFunções hash são lentas
  4. DAs chaves precisam ser ordenadas primeiro
3.Estruturas de dadosMédia

Quanta memória uma lista de adjacência usa para um grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E²)
4.Estruturas de dadosDifícil

Inserir uma chave em uma árvore AVL deixa a subárvore esquerda de um nó alta demais, e a nova chave foi para a subárvore esquerda do seu filho esquerdo (caso esquerda-esquerda). Qual correção é aplicada?

  1. AUma rotação à esquerda no filho e depois uma à direita no nó
  2. BUma rotação simples à esquerda no nó desbalanceado
  3. CUma rotação simples à direita no nó desbalanceado
  4. DRecolorir o nó e o seu filho
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 17 vértices e 18 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 17|E| = 18
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
12633441581515ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 4; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n log n)

Porque é esta a resposta

O laço interno executa cerca de log₂ n vezes para cada uma das n iterações externas, o que dá O(n log n).

Resposta

B · O(n log n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket

Porque é esta a resposta

Com uma boa função hash e um fator de carga adequado, os buckets permanecem curtos em média; um hashing malicioso ou ruim pode colocar todas as chaves em um único bucket.

Resposta

B · Muitas chaves podem colidir no mesmo bucket
3.Estruturas de dados

Resposta: C · O(V + E)

Porque é esta a resposta

Cada vértice tem uma lista e cada aresta aparece uma vez (direcionado) ou duas (não direcionado), o que dá O(V + E).

Resposta

C · O(V + E)
4.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado

Porque é esta a resposta

No caso esquerda-esquerda, uma rotação à direita sobe o filho esquerdo e restaura o balanceamento; os casos em zigue-zague exigem rotação dupla.

Resposta

C · Uma rotação simples à direita no nó desbalanceado
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 2

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

17 − 1 = 16

Arestas a remover

k = 18 − 16 = 2

Resposta

k = 2
6.Teoria dos grafos

Resposta: E

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 12, C: 6
2. C (6): B: 9, E: 10, G: 21
3. B (9): D: 12, G: 17
4. E (10): F: 25
5. D (12)
6. G (17)
7. F (25)

rodada 4

E

Resposta

E

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