Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

Novos exercíciosVoltar à disciplina

Na janela de impressão, escolha “Salvar como PDF” para guardar uma cópia no seu dispositivo.

1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Por que o algoritmo de Dijkstra pode dar resultados errados quando alguns pesos de aresta são negativos?

  1. AUm vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
  2. BNúmeros negativos não podem ser armazenados numa fila de prioridade
  3. CEntra num laço infinito a cada aresta negativa
  4. DSó funciona em grafos não dirigidos
3.Estruturas de dadosMédia

Um percurso em ordem (in-order) de uma árvore binária de busca visita as chaves em:

  1. AOrdem por nível
  2. BSempre ordem decrescente
  3. COrdem crescente
  4. DOrdem de inserção
4.Estruturas de dadosDifícil

Quais são os custos de tempo e de espaço extra para inverter no próprio lugar uma lista simplesmente encadeada?

  1. ATempo O(n log n) e espaço extra O(1)
  2. BTempo O(1) e espaço extra O(1)
  3. CTempo O(n) e espaço extra O(n)
  4. DTempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 4 vértices de grau 4, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 34 × deg 4
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
21110103126514ABCDEF

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F
d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(n)

Porque é esta a resposta

Pelo teorema mestre, nlog₂ 2 = n domina o trabalho constante, então T(n) = Θ(n), como ao encontrar um máximo dividindo em metades.

Resposta

C · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto

Porque é esta a resposta

O passo guloso depende de pesos não negativos para que as distâncias extraídas sejam definitivas; usa-se Bellman–Ford quando os pesos podem ser negativos.

Resposta

A · Um vértice é finalizado ao ser extraído, mas uma aresta negativa posterior ainda poderia dar a ele um caminho mais curto
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Ordem crescente

Porque é esta a resposta

Visitar a subárvore esquerda, depois o nó e depois a subárvore direita produz as chaves da BST em ordem.

Resposta

C · Ordem crescente
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Tempo O(n) e espaço extra O(1)

Porque é esta a resposta

Manter três ponteiros (anterior, atual, próximo) permite inverter cada ligação em uma passada, sem alocar novos nós.

Resposta

D · Tempo O(n) e espaço extra O(1)
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 14

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 28 = 2(L + 8) − 2
L = 14

Resposta

L = 14

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 18

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 2, C: 11
B (2): D: 12, E: 16
C (11): E: 14
D (12): F: 18
E (14)
F (18)

Caminho mais curto

A → B → D → F
d(F) = 18

Resposta

d(F) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms