Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Num array ordenado, você procura dois elementos cuja soma seja um alvo movendo um ponteiro de cada extremidade para dentro. Qual é a complexidade de tempo?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O problema da mochila 0/1 resolvido com programação dinâmica leva tempo O(nW). Por que isso é chamado de pseudopolinomial?

  1. APorque só funciona para W = 0
  2. BPorque o algoritmo é aleatorizado e seu tempo de execução varia a cada entrada
  3. CW é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
  4. DPorque n é sempre pequeno
3.Estruturas de dadosMédia

O que acontece quando uma tabela hash faz rehash depois que o fator de carga passa de um limite?

  1. AAs chaves existentes são ordenadas no próprio lugar
  2. BSó as chaves que colidiram são movidas para uma nova lista de overflow no fim da tabela
  3. CUma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
  4. DAs chaves mais antigas são apagadas para abrir espaço
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual estrutura de dados permite um cache LRU (least recently used) com get e put em O(1)?

  1. AApenas uma pilha
  2. BUm único array ordenado
  3. CApenas uma árvore binária de busca
  4. DUm hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 6 vértices e 7 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 6|E| = 7
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
1112514161817ABCDE

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(n)

Porque é esta a resposta

Se a soma for pequena demais, o ponteiro da esquerda vai para a direita; se for grande demais, o da direita vai para a esquerda, então há no máximo n passos.

Resposta

B · O(n)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W

Porque é esta a resposta

O tempo de execução é polinomial no valor de W, mas exponencial no seu comprimento (log W bits); a mochila 0/1 é NP-completa.

Resposta

C · W é um número, então o tempo é exponencial no número de bits usados para escrever W
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo

Porque é esta a resposta

Como o índice é calculado módulo o tamanho da tabela, todas as chaves precisam ser reinseridas na nova tabela maior; dobrando o tamanho, o custo continua O(1) amortizado.

Resposta

C · Uma tabela maior é alocada e todas as chaves são inseridas de novo
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada

Porque é esta a resposta

O hash map encontra os nós em O(1) e a lista duplamente encadeada move os itens acessados para a frente e remove do final em O(1).

Resposta

D · Um hash map combinado com uma lista duplamente encadeada
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 2

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

6 − 1 = 5

Arestas a remover

k = 7 − 5 = 2

Resposta

k = 2
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 46

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

BC (5): tomar
AB (11): tomar
AC (12): descartar, fecha um ciclo
BD (14): tomar
CE (16): tomar

Peso total

W = 5 + 11 + 14 + 16 = 46

Resposta

W = 46

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