Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Um algoritmo guloso (greedy):

  1. AFaz a melhor escolha local em cada passo
  2. BUsa apenas recursão
  3. CTesta todas as soluções possíveis
  4. DSempre fornece a solução ótima
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de programação dinâmica de Held–Karp resolve o problema do caixeiro-viajante de forma exata. Qual é o seu tempo de execução para n cidades?

  1. AO(n² 2ⁿ)
  2. BO(n!)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n³)
3.Estruturas de dadosMédia

Uma rede rodoviária tem 100,000 cruzamentos, cada um ligado a cerca de 4 outros. Qual representação é mais adequada?

  1. AUm único array ordenado de vértices
  2. BMatriz de adjacência
  3. CLista de adjacência
  4. DUm heap binário de arestas
4.Estruturas de dadosDifícil

Quanto tempo leva buscar uma chave arbitrária em um min-heap binário de n elementos?

  1. AO(n)
  2. BO(log log n)
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teoria dos grafosMédia

Uma árvore tem 4 vértices de grau 3, 2 vértices de grau 4, 2 vértices de grau 5, 3 vértices de grau 2, e todos os seus outros vértices são folhas (grau 1). Quantas folhas L ela tem?

4 × deg 32 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em B? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · Faz a melhor escolha local em cada passo

Porque é esta a resposta

Algoritmos gulosos são rápidos e ótimos para alguns problemas (por exemplo, Dijkstra, codificação de Huffman), mas não em geral (por exemplo, o problema do troco com alguns sistemas de moedas).

Resposta

A · Faz a melhor escolha local em cada passo
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O(n² 2ⁿ)

Porque é esta a resposta

Há cerca de n 2ⁿ estados, cada um calculado em O(n); isso é exponencial, mas muito mais rápido que testar todos os (n − 1)! percursos.

Resposta

A · O(n² 2ⁿ)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Lista de adjacência

Porque é esta a resposta

Uma matriz precisaria de 1010 células, quase todas vazias; uma lista de adjacência armazena só as cerca de 400,000 entradas de arestas.

Resposta

C · Lista de adjacência
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(n)

Porque é esta a resposta

Um heap não dá nenhuma regra sobre qual subárvore contém uma chave, então no pior caso todos os nós precisam ser verificados; só o mínimo é rápido de encontrar.

Resposta

A · O(n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: L = 16

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Lema do aperto de mãos para uma árvore

L + 36 = 2(L + 11) − 2
L = 16

Resposta

L = 16

Atalho: L = 2 + Σ (d − 2) sobre os vértices de grau d ≥ 3.

6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 4

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4

Resposta

N = 4

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