Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o tempo de execução do algoritmo de Dijkstra com um heap binário num grafo com V vértices e E arestas?

  1. AO((V + E) log V)
  2. BO(V³)
  3. CO(V × E)
  4. DO(V + E)
3.Estruturas de dadosMédia

Qual é a finalidade de um nó sentinela (dummy) em uma lista encadeada?

  1. AArmazenar o número de elementos
  2. BImpedir que a lista cresça além de um número máximo fixo de nós
  3. CSimplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
  4. DManter a lista ordenada
4.Estruturas de dadosDifícil

Por que os bancos de dados costumam usar árvores B+ em vez de árvores B simples nos índices?

  1. AÁrvores B+ usam nós internos binários, o que reduz as leituras de disco
  2. BÁrvores B+ não precisam ser balanceadas
  3. CÁrvores B+ armazenam dados apenas na raiz
  4. DTodos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafosMédia

Quantos circuitos hamiltonianos diferentes H tem o grafo completo K7? Circuitos que diferem apenas no vértice inicial ou no sentido contam como o mesmo.

K7
H =
6.Teoria dos grafosDifícil
ABCDE

Quantos passeios fechados de comprimento 2 começam e terminam em A? Um passeio pode repetir vértices e arestas. Chame o número de N.

M = matriz de adjacênciaL = 2
N =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · O(2ⁿ)

Porque é esta a resposta

O número de chamadas dobra a cada nível e há n níveis, então o total é cerca de 2ⁿ, como na Torre de Hanói.

Resposta

D · O(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: A · O((V + E) log V)

Porque é esta a resposta

Há V operações extract-min e até E operações decrease-key, cada uma O(log V); um heap de Fibonacci melhora isso para O(E + V log V).

Resposta

A · O((V + E) log V)
3.Estruturas de dados

Resposta: C · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda

Porque é esta a resposta

Com uma sentinela, todo nó real tem um predecessor, então inserir ou remover na cabeça não exige tratamento especial.

Resposta

C · Simplificar o código, eliminando casos especiais na cabeça ou na cauda
4.Estruturas de dados

Resposta: D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes

Porque é esta a resposta

Em uma árvore B+, os nós internos só guiam a busca e as folhas são encadeadas na ordem das chaves, então uma consulta por intervalo encontra a primeira chave e depois percorre as folhas.

Resposta

D · Todos os registros ficam em folhas encadeadas, o que torna as varreduras por intervalo eficientes
5.Teoria dos grafos

Resposta: H = 360

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Contar

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Resposta

H = 360
6.Teoria dos grafos

Resposta: N = 2

Graus: o grau de um vértice é o número de arestas que o tocam. Cada aresta tem duas pontas, então os graus somam o dobro do número de arestas: Σ deg(v) = 2|E| (o lema do aperto de mãos). Portanto o número de vértices de grau ímpar é par. Kn tem n(n − 1)/2 arestas, um grafo k-regular com n vértices tem nk/2, e uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas.

Matriz de adjacência

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vizinhos comuns

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Resposta

N = 2

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