Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Qual é a solução da recorrência T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(2ⁿ)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

A ordenação topológica só é possível para:

  1. AGrafos completos
  2. BGrafos com pesos negativos
  3. CGrafos acíclicos dirigidos (DAG)
  4. DGrafos não dirigidos
3.Estruturas de dadosMédia

Qual tipo abstrato de dados o algoritmo de Dijkstra usa para escolher o próximo vértice a processar?

  1. AUma fila FIFO
  2. BUm conjunto sem ordem
  3. CUma pilha
  4. DUma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dadosDifícil

A complexidade de tempo de decrease-key em um heap binário (dada a posição do elemento) é:

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n)
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 19 vértices e 21 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 19|E| = 21
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
11819613182014ABCDEF

Encontre o peso total W de uma árvore geradora mínima do grafo ponderado.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: B · O(2ⁿ)

Porque é esta a resposta

O número de chamadas dobra a cada nível e há n níveis, então o total é cerca de 2ⁿ, como na Torre de Hanói.

Resposta

B · O(2ⁿ)
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Grafos acíclicos dirigidos (DAG)

Porque é esta a resposta

Uma ordem topológica existe se e somente se o grafo dirigido não tem ciclos; ela pode ser encontrada em O(V + E) com DFS ou com o algoritmo de Kahn.

Resposta

C · Grafos acíclicos dirigidos (DAG)
3.Estruturas de dados

Resposta: D · Uma fila de prioridade mínima

Porque é esta a resposta

Uma fila de prioridade mínima, normalmente um heap binário, retorna de forma eficiente o vértice não visitado com a menor distância.

Resposta

D · Uma fila de prioridade mínima
4.Estruturas de dados

Resposta: A · O(log n)

Porque é esta a resposta

Após diminuir a chave, o elemento sobe (sift-up) no máximo a altura do heap. Heaps de Fibonacci alcançam decrease-key em O(1) amortizado.

Resposta

A · O(log n)
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 3

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

19 − 1 = 18

Arestas a remover

k = 21 − 18 = 3

Resposta

k = 3
6.Teoria dos grafos

Resposta: W = 36

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Algoritmo de Kruskal

CE (1): tomar
DE (3): tomar
BD (6): tomar
AC (8): tomar
AB (11): descartar, fecha um ciclo
BE (14): descartar, fecha um ciclo
DF (18): tomar

Peso total

W = 1 + 3 + 6 + 8 + 18 = 36

Resposta

W = 36

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