Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos
Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regular
|E| = n·k/2
Árvore e floresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler
circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em Kn
(n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L
(Mᴸ)ij

Método

  1. Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
  2. Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
  3. Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
  4. Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
  5. Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

Aproximadamente quantas comparações a busca binária precisa no pior caso num array ordenado de 1,000,000 de elementos?

  1. ACerca de 500,000
  2. BCerca de 100
  3. CCerca de 20
  4. DCerca de 1,000
2.Algoritmos e complexidadeDifícil

Qual é o custo amortizado de incrementar um contador binário, sabendo que um incremento pode inverter muitos bits?

  1. AO(n) por incremento
  2. BO(n log n) por incremento
  3. CO(1) por incremento
  4. DO(log n) por incremento
3.Estruturas de dadosMédia

Em uma tabela hash com endereçamento aberto, qual é o fator de carga máximo possível?

  1. A1
  2. B0,5
  3. CNão há máximo
  4. D2
4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade mantém toda árvore B perfeitamente balanceada?

  1. ATodas as folhas estão na mesma profundidade
  2. BAs chaves ficam armazenadas apenas na raiz
  3. CCada nó armazena uma chave
  4. DTodo nó tem exatamente dois filhos
5.Teoria dos grafosMédia

Um grafo conexo tem 12 vértices e 21 arestas. Quantas arestas k devem ser removidas para sobrar uma árvore geradora?

|V| = 12|E| = 21
k =
6.Teoria dos grafosDifícil
10156213731213ABCDEFG

O algoritmo de Dijkstra parte de A. Clique no vértice que é fixado (tornado permanente) na rodada 6; o próprio A é a rodada 1.

início: Arodada 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Cerca de 20

Porque é esta a resposta

220 ≈ 1,048,576, então após cerca de 20 divisões pela metade resta só um elemento.

Resposta

C · Cerca de 20
2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · O(1) por incremento

Porque é esta a resposta

Em n incrementos, o bit i inverte cerca de n / 2ⁱ vezes, então o total é menos de 2n inversões, uma média de O(1) cada.

Resposta

C · O(1) por incremento
3.Estruturas de dados

Resposta: A · 1

Porque é esta a resposta

Com endereçamento aberto, todas as chaves ficam na própria tabela, então n não pode passar de m; o encadeamento separado pode ter fator de carga acima de 1.

Resposta

A · 1
4.Estruturas de dados

Resposta: A · Todas as folhas estão na mesma profundidade

Porque é esta a resposta

Os nós se dividem para cima quando estão cheios e a árvore só fica mais alta quando a raiz se divide, então todas as folhas ficam sempre no mesmo nível.

Resposta

A · Todas as folhas estão na mesma profundidade
5.Teoria dos grafos

Resposta: k = 10

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; Kn tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Arestas de uma árvore geradora

12 − 1 = 11

Arestas a remover

k = 21 − 11 = 10

Resposta

k = 10
6.Teoria dos grafos

Resposta: D

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

1. A (0): B: 10
2. B (10): C: 25, G: 17
3. G (17): C: 20, D: 29, E: 30
4. C (20): E: 26
5. E (26): D: 28, F: 39
6. D (28)
7. F (39)

rodada 6

D

Resposta

D

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