Estruturas de Dados e Algoritmos: pacote de revisão

Formulários, as principais etapas dos métodos de cada tópico e 6 exercícios, com soluções completas no final.

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1Fórmulas e métodos

Teoria dos grafos

Lema do aperto de mãos: Σ deg(v) = 2|E|
Grafos completos: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regular: |E| = n·k/2
Árvore e floresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Folhas de uma árvore: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Euler: circuito: todos os graus pares; caminho: exatamente 2 graus ímpares
Circuitos hamiltonianos em K_n: (n − 1)!/2
Atualização de Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Passeios de comprimento L: (Mᴸ)_ij

Método

Anote o grau de cada vértice; a soma dos graus é igual ao dobro do número de arestas.
Em questões de Euler, verifique se o grafo é conexo e conte os vértices de grau ímpar.
Para árvores, use n − 1 arestas e o lema do aperto de mãos.
Em Dijkstra, mantenha uma tabela de distâncias provisórias e fixe a cada rodada o vértice não fixado de menor distância.
Para uma árvore geradora mínima, ordene as arestas por peso e pule toda aresta que feche um ciclo (Kruskal), ou faça crescer uma árvore a partir de um vértice inicial (Prim).

2Exercícios

1.Algoritmos e complexidadeMédia

No problema de seleção de atividades, qual regra gulosa sempre dá o número máximo de atividades sem sobreposição?

AEscolher primeiro a atividade mais curta
BEscolher primeiro a atividade com menos sobreposições e repetir com as compatíveis
CEscolher a atividade que começa mais cedo
DEscolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

2.Algoritmos e complexidadeDifícil

O algoritmo de Strassen multiplica matrizes usando 7, em vez de 8, multiplicações recursivas de blocos de metade do tamanho. Qual é o seu tempo de execução?

AΘ(n³)
BΘ(n²)
CΘ(n^{log₂ 7}), cerca de n^2,81
DΘ(n² log n)

3.Estruturas de dadosMédia

Por que percorrer um array costuma ser muito mais rápido na prática do que percorrer uma lista encadeada do mesmo tamanho?

AOs elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU
BArrays usam menos instruções para comparar valores
CPercorrer um array é O(1) no total, enquanto percorrer uma lista encadeada é O(n)
DListas encadeadas sempre armazenam os elementos em disco

4.Estruturas de dadosDifícil

Qual propriedade uma árvore rubro-negra deve satisfazer?

ATodo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos
BTodo nó vermelho deve ter filhos vermelhos, então nós vermelhos sempre formam cadeias ininterruptas até as folhas
CA raiz deve ser vermelha
DTodo nó deve ser vermelho

5.Teoria dos grafosMédia

O grafo conexo tem um circuito euleriano, um caminho euleriano que não é circuito, ou nenhum dos dois? Clique na sua resposta.

|V| = 6|E| = 8

1Circuito euleriano
2Caminho euleriano, sem circuito
3nenhuma das duas

6.Teoria dos grafosDifícil

Use o algoritmo de Dijkstra para encontrar o comprimento d(F) do caminho mais curto de A até F no grafo ponderado.

início: Afim: F

d(F) =

3Soluções

1.Algoritmos e complexidade

Resposta: D · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

Porque é esta a resposta

Escolher o término mais cedo pode ser provado ótimo por um argumento de troca; as outras regras têm contraexemplos.

Resposta

D · Escolher a atividade que termina mais cedo e repetir com as compatíveis

2.Algoritmos e complexidade

Resposta: C · Θ(n^{log₂ 7}), cerca de n^2,81

Porque é esta a resposta

Com a = 7 e b = 2, n^{log₂ 7} domina o trabalho O(n²) das adições, o que dá cerca de n^2,81.

Resposta

C · Θ(n^{log₂ 7}), cerca de n^2,81

3.Estruturas de dados

Resposta: A · Os elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU

Porque é esta a resposta

A memória contígua dá boa localidade de referência, enquanto os nós encadeados podem estar espalhados e causar muitos cache misses.

Resposta

A · Os elementos do array são contíguos, então aproveitam bem o cache da CPU

4.Estruturas de dados

Resposta: A · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

Porque é esta a resposta

Regras rubro-negras: os nós são vermelhos ou pretos, a raiz é preta, nós vermelhos têm filhos pretos e todos os caminhos têm a mesma altura negra, mantendo a altura ≤ 2 log₂(n + 1).

Resposta

A · Todo caminho de um nó até suas folhas descendentes tem o mesmo número de nós pretos

5.Teoria dos grafos

Resposta: Caminho euleriano, sem circuito

Euler, Hamilton e árvores: um grafo conexo tem um circuito euleriano (cada aresta uma vez, de volta ao início) quando todo vértice tem grau par, e um caminho euleriano que não é circuito quando exatamente dois vértices têm grau ímpar; o caminho vai então de um vértice ímpar ao outro. Um circuito hamiltoniano visita cada vértice uma vez; K_n tem (n − 1)!/2 deles. Uma árvore com n vértices tem n − 1 arestas, e um grafo conexo com m arestas mantém uma árvore geradora depois de remover m − n + 1 arestas.

Graus

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2

Vértices ímpares

B, D → 2

Caminho euleriano, sem circuito

Resposta

Caminho euleriano, sem circuito

O caminho euleriano começa em um vértice ímpar e termina no outro.

6.Teoria dos grafos

Resposta: d(F) = 15

Caminhos mínimos e árvores geradoras: o algoritmo de Dijkstra fixa um vértice por rodada: o vértice não fixado com a menor distância provisória. Sua distância torna-se definitiva, e cada vizinho v recebe d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). O algoritmo de Kruskal constrói uma árvore geradora mínima tomando as arestas da mais leve para a mais pesada e descartando qualquer aresta que feche um ciclo; o algoritmo de Prim faz crescer uma árvore a partir de um vértice inicial acrescentando sempre a aresta mais leve que sai dela. Uma árvore geradora de n vértices tem n − 1 arestas.

Dijkstra rodada por rodada

Cada linha: o vértice fixado, sua distância definitiva e os vizinhos cuja distância melhora.

A (0): B: 10

B (10): C: 12, D: 13, G: 15

C (12): E: 13

D (13)

E (13): F: 15

F (15)

G (15)

Caminho mais curto

A → B → C → E → F

d(F) = 15

Resposta

d(F) = 15

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